Integrale equazione di Bessel
Sia $nu in CC-{0}$, consideriamo l'equazione di Bessel
(1) $y'' + 1/x y' + (1-(nu^2)/x^2) y = 0$
Il mio testo dice che è possibile trovare un integrale del tipo
(2) $y(x) = sum_(k=0)^(+oo) a_k x^(2k+nu)$
Derivando e ragionando per ricorrenza è ora possibile trovare i coefficienti $a_k$ e scrivere sotto forma di serie la generica
funzione di Bessel di ordine $nu$.
Bene, ma come si può dimostrare che effettivamente esiste una soluzione del tipo della (2) all'equazione (1)?
(1) $y'' + 1/x y' + (1-(nu^2)/x^2) y = 0$
Il mio testo dice che è possibile trovare un integrale del tipo
(2) $y(x) = sum_(k=0)^(+oo) a_k x^(2k+nu)$
Derivando e ragionando per ricorrenza è ora possibile trovare i coefficienti $a_k$ e scrivere sotto forma di serie la generica
funzione di Bessel di ordine $nu$.
Bene, ma come si può dimostrare che effettivamente esiste una soluzione del tipo della (2) all'equazione (1)?
Risposte
Hai provato ad usare la trasformata z?
No. A dire il vero la z-trasformazione la userei per equazioni alle differenze (dunque a tempo discreto). Invece $x$ dovrebbe essere una variabile continua...
Anche z è una variabile continua. Poi essendo y(x) espressa in forma polinomiale...
Sì ma io non lo so a priori che $y(x)$ è in forma polinomiale... è proprio quello che voglio dimostrare
Ok, allora è un altro discorso
E' un falso problema, si dimostra in modo costruttivo, come tutta la teoria delle equazioni differenziali lineari in campo complesso: uno suppone che esista e che si possa derivare termine a termine ecc... poi trova i coefficienti e dimostra che questa serie funziona che si trovano due sol lin. indipendenti (a meno di $\nu$ intero, per cui bisogna fare qualche casino) ecc..
@Kroldar
condivido al 100% quello che dice Maxos, ma vorrei aggiungere un altro tipo di considerazione
ci sono i "teoremi di regolarità" per le equazioni differenziali
facendo un esempio in campo reale, se hai $y'=f(x,y)$ con $f \in C^1(RR^2)$, allora non soltanto sai che questa equazione ha soluzioni (locali, o se vuoi massimali), ma puoi anche dire (teorema di regolarità) che queste soluzioni sono certamente di classe $C^2$
cosa che è facile da dimostrare: una soluzione $\phi : I -> RR$ (con $I$ intervallo aperto di $RR$) soddisfa $\phi'(x) = f(x,\phi(x))$ per ogni $x \in I$ e quindi $\phi'$ è di classe $C^1$ su $I$ (visto che coincide con una funzione che è $C^1$ su $I$), pertanto $\phi$ è di classe $C^2$
è facile estendere questo risultato: se $f$ è di classe $C^n$ allora le sue soluzioni sono di classe $C^{n+1}$
un po' meno diretto è dim che la soluzione di una equazione differenziale a dati analitici è analitica, ma si dimostra anche questo
condivido al 100% quello che dice Maxos, ma vorrei aggiungere un altro tipo di considerazione
ci sono i "teoremi di regolarità" per le equazioni differenziali
facendo un esempio in campo reale, se hai $y'=f(x,y)$ con $f \in C^1(RR^2)$, allora non soltanto sai che questa equazione ha soluzioni (locali, o se vuoi massimali), ma puoi anche dire (teorema di regolarità) che queste soluzioni sono certamente di classe $C^2$
cosa che è facile da dimostrare: una soluzione $\phi : I -> RR$ (con $I$ intervallo aperto di $RR$) soddisfa $\phi'(x) = f(x,\phi(x))$ per ogni $x \in I$ e quindi $\phi'$ è di classe $C^1$ su $I$ (visto che coincide con una funzione che è $C^1$ su $I$), pertanto $\phi$ è di classe $C^2$
è facile estendere questo risultato: se $f$ è di classe $C^n$ allora le sue soluzioni sono di classe $C^{n+1}$
un po' meno diretto è dim che la soluzione di una equazione differenziale a dati analitici è analitica, ma si dimostra anche questo
Grazie a tutti per le risposte
L'osservazione di Fioravante la trovo molto interessante, in quanto, per calcolare i coefficienti, la soluzione va derivata (nella fattispecie 2 volte)... senza considerazioni preliminari però nessuno ci garantisce che tale soluzione possa essere effettivamente derivata, in quanto non sappiamo se ha raggio di convergenza positivo.
L'osservazione di Fioravante la trovo molto interessante, in quanto, per calcolare i coefficienti, la soluzione va derivata (nella fattispecie 2 volte)... senza considerazioni preliminari però nessuno ci garantisce che tale soluzione possa essere effettivamente derivata, in quanto non sappiamo se ha raggio di convergenza positivo.
Mettendosi in mare aperto non si ha la garanzia di trovare approdo, ma se ci si riesce poi non chiederti se fosse effettivamente possibile a priori l'impresa, perché evidentemente lo era!
Riguardo a quanto detto da Fioravante (peraltro molto utile ed interessante) faccio notare che però l'eq. di Bessel è singolare in 0 e dunque quel ragionamento non è valido, bisogna tirare in causa la teoria delle eq. fuchsiane, almeno, è un'idea.
Riguardo a quanto detto da Fioravante (peraltro molto utile ed interessante) faccio notare che però l'eq. di Bessel è singolare in 0 e dunque quel ragionamento non è valido, bisogna tirare in causa la teoria delle eq. fuchsiane, almeno, è un'idea.
verissimo! E precisazione quanto mai opportuna
c'è una singolarità dei dati in $0$ e quindi il tipo di risultati da me indicati nel post precedente possono garantire solo l'analiticità in $CC - {0}$.
comunque, anche già questo è un passo avanti importante: sapere che in $CC - {0}$ le soluzioni devono essere analitiche, giustifica la ricerca di una soluzione espressa (almeno localmente, ovvio!) in serie di potenze, di cui poi si potrà vedere se "per caso" funziona a nche in $0$
mi sembra un buon passo avanti rispetto al metodo puramente "sperandio" ben tratteggiato Maxos (che si vede conosce Fuchs ma non Murphy). Oltretutto Maxos è sufficientemente colto e smaliziato da sapere che, comunque, dopo essere felicemente approdato uno si chiede: "perchè?"
la mia risposta voleva solo illustrare una idea e un risultato di carattere generale
poi, se si vuole garantire teoricamente che il metodo funge su tutto $CC$, vale la precisazione di Maxos
già che si parla di precisazioni, non c'era solo quella: c'è tutta la questione del raggio di convergenza della serie di potenze e il problema connesso di dove sia definita la soluzione massimale ("ovvio" su in $CC - {0}$ per la linearità dell'equazione, ma meno ovvio se ci interessa tutto $CC$)
ciao e buona domenica a tutti (chissà perché il forum a a quest'ora del mattino di domenica è tipicamente deserto o quasi, anche come ospiti...)
c'è una singolarità dei dati in $0$ e quindi il tipo di risultati da me indicati nel post precedente possono garantire solo l'analiticità in $CC - {0}$.
comunque, anche già questo è un passo avanti importante: sapere che in $CC - {0}$ le soluzioni devono essere analitiche, giustifica la ricerca di una soluzione espressa (almeno localmente, ovvio!) in serie di potenze, di cui poi si potrà vedere se "per caso" funziona a nche in $0$
mi sembra un buon passo avanti rispetto al metodo puramente "sperandio" ben tratteggiato Maxos (che si vede conosce Fuchs ma non Murphy). Oltretutto Maxos è sufficientemente colto e smaliziato da sapere che, comunque, dopo essere felicemente approdato uno si chiede: "perchè?"
la mia risposta voleva solo illustrare una idea e un risultato di carattere generale
poi, se si vuole garantire teoricamente che il metodo funge su tutto $CC$, vale la precisazione di Maxos
già che si parla di precisazioni, non c'era solo quella: c'è tutta la questione del raggio di convergenza della serie di potenze e il problema connesso di dove sia definita la soluzione massimale ("ovvio" su in $CC - {0}$ per la linearità dell'equazione, ma meno ovvio se ci interessa tutto $CC$)
ciao e buona domenica a tutti (chissà perché il forum a a quest'ora del mattino di domenica è tipicamente deserto o quasi, anche come ospiti...)
As$o£utam€nt€ d'accordo!
Ragazzi
innanzitutto buon lunedì!… Nel corso del fine settimana ho notato questa interessantissima discussione avviata da Kroldar riguardante le funzioni di Bessel e la cosa non poteva non suscitare la mia curiosità!… Ora che ho un poco di tempo da dedicare al problema, vorrei anzitutto chiarire due cose riguardo al quesito iniziale di Kroldar…
E’ data l’equazione differenziale…
$y''+(y')/x+(1-nu^2/(x^2))*y=0$ (1)
… e noi stiamo cercando soluzioni esprimibili nella forma nella forma…
$y=sum_(k=0)^(+oo)a_k*x^(2k+nu)=x^nu*sum_(k=0)^(+oo)a_k*x^(2k)$ (2)
Le domande in particolare sono le seguenti…
a) per qual motivo deve essere $nune0$?…
b) vi sono particolari vincoli relativi alle ‘condizioni iniziali’?…
c) la ricerca è delle soluzioni è limitata alle sole ‘funzioni analitiche’?…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
innanzitutto buon lunedì!… Nel corso del fine settimana ho notato questa interessantissima discussione avviata da Kroldar riguardante le funzioni di Bessel e la cosa non poteva non suscitare la mia curiosità!… Ora che ho un poco di tempo da dedicare al problema, vorrei anzitutto chiarire due cose riguardo al quesito iniziale di Kroldar…
E’ data l’equazione differenziale…
$y''+(y')/x+(1-nu^2/(x^2))*y=0$ (1)
… e noi stiamo cercando soluzioni esprimibili nella forma nella forma…
$y=sum_(k=0)^(+oo)a_k*x^(2k+nu)=x^nu*sum_(k=0)^(+oo)a_k*x^(2k)$ (2)
Le domande in particolare sono le seguenti…
a) per qual motivo deve essere $nune0$?…
b) vi sono particolari vincoli relativi alle ‘condizioni iniziali’?…
c) la ricerca è delle soluzioni è limitata alle sole ‘funzioni analitiche’?…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Come noto le soluzioni dell'equazione di Bessel sono generalmente indicate con il simbolo $J_nu (x) $ , a dire funzioni di Bessel di I° specie di ordine $nu $.
Una delle applicazioni più note, nel campo dell'ingegneria è quella relativa alle TLC .
Per determinare infatti lo spettro di un segnale sinusoidale modulato in frequenza o fase da un segnale pure sinusoidale, si trova che le varie componenti dello spettro hanno ampiezze ( rapportate a quella della portante non modulata) pari a $J_nu(x) $ , essendo $ x$ l'indice di modulazione del segnale modulato.
In questo specifico caso $nu $ è intero , positivo e negativo.
Le righe spettrali, simmetriche rispetto alla frequenza $ f_c $ della portante sono :
$f_c+-f_m$
$f_c+-2*f_m$
................
$f_c+-nu.f_m$
.....
essendo $f_m$ la frequenza del segnale modulante.
Edit : aggiunto Titolo
Una delle applicazioni più note, nel campo dell'ingegneria è quella relativa alle TLC .
Per determinare infatti lo spettro di un segnale sinusoidale modulato in frequenza o fase da un segnale pure sinusoidale, si trova che le varie componenti dello spettro hanno ampiezze ( rapportate a quella della portante non modulata) pari a $J_nu(x) $ , essendo $ x$ l'indice di modulazione del segnale modulato.
In questo specifico caso $nu $ è intero , positivo e negativo.
Le righe spettrali, simmetriche rispetto alla frequenza $ f_c $ della portante sono :
$f_c+-f_m$
$f_c+-2*f_m$
................
$f_c+-nu.f_m$
.....
essendo $f_m$ la frequenza del segnale modulante.
Edit : aggiunto Titolo
Ecco il grafico della funzione $J_nu(x) $ per alcuni valori interi di $nu$.
Cliccare per ingrandire.
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