Integrale ellittico di prima specie
Buongiorno ragazzi, sono alle prese con questo "piccolo" integrale, l'ho svolto ma ho un grosso dubbio su un passaggio, e mi pare troppo semplice che funzioni come l'ho risolto io... mah 
[tex]\int \frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\text{ d}x[/tex]
sostituisco x (prima sostituzione)
[tex]x = sin\phi[/tex]
[tex]\text{ d}x = cos\phi \text{ d}\phi[/tex]
ottengo quindi:
[tex]\int \frac{cos \phi}{\sqrt{(1-(sin\phi)^2)(1-k^2(sin\phi)^2)}}\text{ d}\phi[/tex]
[tex]\int \frac{cos \phi}{\sqrt{(cos\phi)^2(1-k^2(sin\phi)^2)}}\text{ d}\phi[/tex]
[tex]\int \frac{cos \phi}{\frac{cos\phi}{cos\phi}\sqrt{(cos\phi)^2(1-k^2(sin\phi)^2)}}\text{ d}\phi[/tex]
[tex]\int \frac{cos \phi}{cos\phi\sqrt{\frac{(cos\phi)^2(1-k^2(sin\phi)^2)}{(cos\phi)^2}}}\text{ d}\phi[/tex]
[tex]\int \frac{1}{\sqrt{(1-k^2(sin\phi)^2)}}\text{ d}\phi[/tex]
sostituisco [tex]k sin\phi[/tex] (seconda sostituzione)
[tex]u = ksin\phi[/tex]
[tex]du = kcos\phi \text{ d}\phi[/tex]
[tex]\frac{1}{kcos\phi}\text{ d}u =\text{ d}\phi[/tex]
ed ottengo:
[tex]\int \frac{1}{\sqrt{(1-u^2)}}\frac{1}{kcos\phi}\text{ d}u[/tex]
Ora il passaggio incriminato, posso portare fuori [tex]\frac{1}{kcos\phi}[/tex] ? Secondo me no... il dubbio sta qui.
[tex]\frac{1}{kcos\phi}\int \frac{1}{\sqrt{(1-u^2)}}\text{ d}u[/tex]
[tex]\frac{1}{kcos\phi}arcsin(u) + C[/tex]
risostituendo le variabili avrei (prima [tex]u[/tex] e poi [tex]sin\phi[/tex]
[tex]u = k sin\phi[/tex] (dalla seconda sostituzione)
[tex]\frac{1}{kcos\phi}arcsin(ksin\phi) + C[/tex]
[tex]\phi = arcsin(x)[/tex] (dalla prima sostituzione)
[tex]\frac{1}{k\text{ }cos(arcsin(x))}arcsin(k\text{ } sin(arcsin(x))) + C[/tex]
ottenendo infine la soluzione:
[tex]\frac{arcsin(kx)}{k\text{ } cos(arcsin(x))} + C[/tex]
Non è corretta? E se si, come si potrebbe risolvere correttamente?
Grazie a tutti voi
[tex]\int \frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\text{ d}x[/tex]
sostituisco x (prima sostituzione)
[tex]x = sin\phi[/tex]
[tex]\text{ d}x = cos\phi \text{ d}\phi[/tex]
ottengo quindi:
[tex]\int \frac{cos \phi}{\sqrt{(1-(sin\phi)^2)(1-k^2(sin\phi)^2)}}\text{ d}\phi[/tex]
[tex]\int \frac{cos \phi}{\sqrt{(cos\phi)^2(1-k^2(sin\phi)^2)}}\text{ d}\phi[/tex]
[tex]\int \frac{cos \phi}{\frac{cos\phi}{cos\phi}\sqrt{(cos\phi)^2(1-k^2(sin\phi)^2)}}\text{ d}\phi[/tex]
[tex]\int \frac{cos \phi}{cos\phi\sqrt{\frac{(cos\phi)^2(1-k^2(sin\phi)^2)}{(cos\phi)^2}}}\text{ d}\phi[/tex]
[tex]\int \frac{1}{\sqrt{(1-k^2(sin\phi)^2)}}\text{ d}\phi[/tex]
sostituisco [tex]k sin\phi[/tex] (seconda sostituzione)
[tex]u = ksin\phi[/tex]
[tex]du = kcos\phi \text{ d}\phi[/tex]
[tex]\frac{1}{kcos\phi}\text{ d}u =\text{ d}\phi[/tex]
ed ottengo:
[tex]\int \frac{1}{\sqrt{(1-u^2)}}\frac{1}{kcos\phi}\text{ d}u[/tex]
Ora il passaggio incriminato, posso portare fuori [tex]\frac{1}{kcos\phi}[/tex] ? Secondo me no... il dubbio sta qui.
[tex]\frac{1}{kcos\phi}\int \frac{1}{\sqrt{(1-u^2)}}\text{ d}u[/tex]
[tex]\frac{1}{kcos\phi}arcsin(u) + C[/tex]
risostituendo le variabili avrei (prima [tex]u[/tex] e poi [tex]sin\phi[/tex]
[tex]u = k sin\phi[/tex] (dalla seconda sostituzione)
[tex]\frac{1}{kcos\phi}arcsin(ksin\phi) + C[/tex]
[tex]\phi = arcsin(x)[/tex] (dalla prima sostituzione)
[tex]\frac{1}{k\text{ }cos(arcsin(x))}arcsin(k\text{ } sin(arcsin(x))) + C[/tex]
ottenendo infine la soluzione:
[tex]\frac{arcsin(kx)}{k\text{ } cos(arcsin(x))} + C[/tex]
Non è corretta? E se si, come si potrebbe risolvere correttamente?
Grazie a tutti voi
Risposte
Nessuno puo' dare uno sguardo? 
Non mi risulta si possa trovare una primitiva elementare; tali integrali possono essere calcolati al più per serie.
Puoi vedere qui:
http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_587.htm
Puoi vedere qui:
http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_587.htm
Grazie Rigel per il link, mi ha chiarito alcune cose, anche se la soluzione completa per il mio integrale non riesco a ricavarla.
Ho capito che è un integrale ellittico completo di prima specie, mettendolo in questa forma ho provato a ricavare le radici del polinomio di quarto grado:
$ \int y(x)^{-1} dx $
dove $ y^2 = (1-x^2)(1-k^2x^2) = k^2x^4-(1+k^2)x^2 +1 $
ma poi anche trovando le radici non saprei come usare le funzioni tabellate che vedo nell'Abramowitz.
C'è qualcuno che potrebbe aiutarmi a venirne fuori? Sono sicuro che tra tutti gli utenti del forum ci sia almeno uno che sa risolverlo senza difficolta'
Grazie ancora.
Ho capito che è un integrale ellittico completo di prima specie, mettendolo in questa forma ho provato a ricavare le radici del polinomio di quarto grado:
$ \int y(x)^{-1} dx $
dove $ y^2 = (1-x^2)(1-k^2x^2) = k^2x^4-(1+k^2)x^2 +1 $
ma poi anche trovando le radici non saprei come usare le funzioni tabellate che vedo nell'Abramowitz.
C'è qualcuno che potrebbe aiutarmi a venirne fuori? Sono sicuro che tra tutti gli utenti del forum ci sia almeno uno che sa risolverlo senza difficolta'
Grazie ancora.
Nessuno ha qualcosa da propormi? Sarebbe molto importante per me.
Grazie
Grazie
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