Integrale e serie
ciao a tutti non riesco a risolvere questo maledetto integrale e questa serie mi aiutate?
$int sqrt((1-x))/sqrt(|x|)$
$sum ((n/(n+1))^2)^n
$int sqrt((1-x))/sqrt(|x|)$
$sum ((n/(n+1))^2)^n
Risposte
la serie:
$sum_(n=0)^(+oo)(n/(n+1))^(2n)
quindi vedere che è a termini positivi è ovvio.
Inoltre se noi definiamo $f(x)=(x/(x+1))^(2x)=e^(2xlog(x/(x+1))=>
$f'(x)=e^(2xlog(x/(x+1))]*(2log(x/(x+1))+2x*(x+1)/x*1/(x+1)^2)=
$2e^(2xlog(x/(x+1))]*(log(x/(x+1))+1/(x+1))
quindi $f'(x)>0<=>log(x/(x+1))+1/(x+1)>0<=>1/(x+1)>log((x+1)/x)=log(1+x)
che in modo definitivo è falso in quanto la LHS è monotona decrescente, mentre la RHS è monotona crescente, segue che $AAx>x_0=>f'(x)<0$
quindi essendo la funzione monotona decrescente limitata (cioè ha solo termini positivi), la serie associata $f(n)$ converge per il criterio del rapporto.
$sum_(n=0)^(+oo)(n/(n+1))^(2n)
Se una serie a termini positivi e descrescente definitivamente allora converge. In altri termini è condizione sufficiente affinchè converga è che $lim_(nto+oo)a_(n+1)/(a_n)$ esista e sia strettamente minore di uno.
quindi vedere che è a termini positivi è ovvio.
Inoltre se noi definiamo $f(x)=(x/(x+1))^(2x)=e^(2xlog(x/(x+1))=>
$f'(x)=e^(2xlog(x/(x+1))]*(2log(x/(x+1))+2x*(x+1)/x*1/(x+1)^2)=
$2e^(2xlog(x/(x+1))]*(log(x/(x+1))+1/(x+1))
quindi $f'(x)>0<=>log(x/(x+1))+1/(x+1)>0<=>1/(x+1)>log((x+1)/x)=log(1+x)
che in modo definitivo è falso in quanto la LHS è monotona decrescente, mentre la RHS è monotona crescente, segue che $AAx>x_0=>f'(x)<0$
quindi essendo la funzione monotona decrescente limitata (cioè ha solo termini positivi), la serie associata $f(n)$ converge per il criterio del rapporto.
per l'integrale:
se $x>0$ allora l'integrale diventa $intsqrt((1-x)/x)dx=intsqrt(1/x-1)dx$
se $x<0$ l'integrale risulta $intsqrt((1-x)/(-x))dx=intsqrt((x-1)/x)=intsqrt(1-1/x)dx
da qui son fattibili
edit: avevo detto cose sbagliate...
se $x>0$ allora l'integrale diventa $intsqrt((1-x)/x)dx=intsqrt(1/x-1)dx$
se $x<0$ l'integrale risulta $intsqrt((1-x)/(-x))dx=intsqrt((x-1)/x)=intsqrt(1-1/x)dx
da qui son fattibili
edit: avevo detto cose sbagliate...
in che senso?
nel senos che avevo sbagliato a scrivere due cose e le ho corrette 
puo darsi che sbaglio per vedendo il denominatore ed essendoci sotto radice un valore assoluto , è per forza necessario studiarlo con $x<0 e x>0?$
perchè il valore assoluto ci da un numero positivo,e trovandosi sotto radice a maggior ragione affinche possa avere senso in R deve essere positivo...
poi non so...ma ho questo dubbio!che ne pensi?^
perchè il valore assoluto ci da un numero positivo,e trovandosi sotto radice a maggior ragione affinche possa avere senso in R deve essere positivo...
poi non so...ma ho questo dubbio!che ne pensi?^
"moreno88":
puo darsi che sbaglio per vedendo il denominatore ed essendoci sotto radice un valore assoluto , è per forza necessario studiarlo con $x<0 e x>0?$
perchè il valore assoluto ci da un numero positivo,e trovandosi sotto radice a maggior ragione affinche possa avere senso in R deve essere positivo...
poi non so...ma ho questo dubbio!che ne pensi?^
beh è il modo più semplice
in un caso generale di hun valore assoluto.iora però ho fatto caso ora a questo dettaglio ( e potevo farlo anche prima, visto l'importanza di esso): $intsqrt(1-x)/sqrt|x|dx$ è integrabile solo se esiste l'integranda, quindi solo se $1-x>0=>x>1$
quindi nel tuo caso, essendo l'intervallo di integrazione sempre positivo, puoi bellamente fregartene del valore assoluto
mi ero dimenticato di vedere il CE della funzione integranda.Se essa nn esiste neanche ha poco senso parlare di primitiva dove non è neanche definita
questo a maggio ragione ricorrendo alla definizione di primitiva, essa dice che $F(x)$ è una primitiva di $f(x)<=>F'(x)=f(x)$.
Quindi, indicato con $D_(f(x))$ l'insieme di definizione di f(x) e con $D_(F'(x))$l'insieme di definizione di F'(x), alloraper far valere la definizione deve valere anche questa ugualianza: $D_(f(x))=D_(F'(x))$, se così non fosse F'(x) non sarebbe definito sullo stesso dominio di f(x) e quindi non rappresenterebbe la stessa funzione, e si avrebbe una contraddizione.
quindi parlare di integrale indefinito ha senso parlarne su un intervallo dove esista f(x) e in questo caso $E=[1,+oo)=>x>0AA\x\inE=>|x|=xAA\x\inE$ quindi il valore assoluto è solo un barbatrucco in questo caso
spero di essere stato chiaro, ciaooo
ok!grazie!
"fu^2":Se una serie a termini positivi e descrescente definitivamente allora converge. In altri termini è condizione sufficiente affinchè converga è che $lim_(nto+oo)a_(n+1)/(a_n)$ esista e sia strettamente minore di uno.
Scusa fu^2, ma ti devo far notare che le due affermazioni che hai scritto ed ho riportato non sono equivalenti: la seconda è molto più forte della prima.
La prima considerazione di fu^2 non è corretta : basta pensare alla serie armonica ( o qualcosa mi è sfuggito ) .
Infatti è proprio questo che volevo fargli notare col mio post precedente.
L'ipotesi di decrescenza (anche stretta) non garantisce affatto che $lim_(n)(a_(n+1))/(a_n)!=1$ (pur assicurando che, qualora tale limite esista, esso sia $le1$).
L'ipotesi di decrescenza (anche stretta) non garantisce affatto che $lim_(n)(a_(n+1))/(a_n)!=1$ (pur assicurando che, qualora tale limite esista, esso sia $le1$).
faccio ammenda, mi son accorto della cosa grossolana che ho detto.. sorry...
edit: ho detto prorpio una bella cagata prima... un grande scivolone ora che ci penso
bisogna rivedere i conti
edit: ho detto prorpio una bella cagata prima... un grande scivolone ora che ci penso
bisogna rivedere i conti
"gugo82":
Infatti è proprio questo che volevo fargli notare col mio post precedente.
L'ipotesi di decrescenza (anche stretta) non garantisce affatto che $lim_(n)(a_(n+1))/(a_n)!=1$ (pur assicurando che, qualora tale limite esista, esso sia $le1$).
OK tutto a posto adesso !! Altrimenti se vacillano anche i fondamenti della serie armonica, sono perduto
eheh!è vero!
allora torniamo a cannone sulla serie
$sum (n/(n+1))^(2n)$
nota:$lim_(xto+oo)(1/x)/(x/(x+1))^(2x)=lim_(xto+oo)1/(xe^(2xlog(x/(x+1))))=0
quindi possiamo dire che $1/x=o((x/(x+1))^(2x))$ per $xto+oo$
quindi possiamo dire che definitivamente $sum (n/(n+1))^(2n)>sum 1/n$ e quindi la serie diverge.
se non son troppo cotto (gli esami fanno male) ho detto bene e ...
come d'altronde avevo detto prima 
$sum (n/(n+1))^(2n)$
nota:$lim_(xto+oo)(1/x)/(x/(x+1))^(2x)=lim_(xto+oo)1/(xe^(2xlog(x/(x+1))))=0
quindi possiamo dire che $1/x=o((x/(x+1))^(2x))$ per $xto+oo$
quindi possiamo dire che definitivamente $sum (n/(n+1))^(2n)>sum 1/n$ e quindi la serie diverge.
se non son troppo cotto (gli esami fanno male) ho detto bene e ...
come d'altronde avevo detto prima
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