Integrale e problema di Cauchy
Buongiorno a tutti, da poco ho iniziato l'approccio alle equazioni differenziali con relativo problema di Cauchy ma sfortunatamente sto avendo non pochi problemi e vorrei chiedervi delle delucidazioni sul seguente esercizio:
$
{ ( y'+(2+cos x)/(2x+sen x)y=1/(x^2 -cos x +2)),( y(pi/2)=0 ):}
$
che mi vado a riscrivere meglio così:
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{ ( y'=-(2+cos x)/(2x+sen x)y+1/(x^2 -cos x +2)),( y(pi/2)=0 ):}
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a questo punto mi ricavo $A(x)=int(a(x) dx)$ ottenendo $A(x)=-ln|2x+sen x| +c$
da qui mi vado a ricavare la $y(x)=e^(-ln|2x+sen x|)*( int e^(ln|2x+sen x|) *1/(x^2 -cos x +2) dx +c )$
A questo punto come procedo??? posso semplificare $e$ e $ln$? utilizzare la funzione segno? (che non ho capito come applicare al mio caso)
Sono in alto mare... attendo vostri consigli...
Grazie
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{ ( y'+(2+cos x)/(2x+sen x)y=1/(x^2 -cos x +2)),( y(pi/2)=0 ):}
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che mi vado a riscrivere meglio così:
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{ ( y'=-(2+cos x)/(2x+sen x)y+1/(x^2 -cos x +2)),( y(pi/2)=0 ):}
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a questo punto mi ricavo $A(x)=int(a(x) dx)$ ottenendo $A(x)=-ln|2x+sen x| +c$
da qui mi vado a ricavare la $y(x)=e^(-ln|2x+sen x|)*( int e^(ln|2x+sen x|) *1/(x^2 -cos x +2) dx +c )$
A questo punto come procedo??? posso semplificare $e$ e $ln$? utilizzare la funzione segno? (che non ho capito come applicare al mio caso)
Sono in alto mare... attendo vostri consigli...
Grazie
Risposte
"arnett":
Chiaramente puoi usare il fatto che $f(x)=e^{\logf(x)}$. (Ma non è che stai semplificando...)
Per il valore assoluto decidi guardando le condizioni iniziali
grazie per la risposta
le condizioni iniziali non le vado a considerare solo dopo aver ottenuto la primitiva?p.s.
sfruttando la proprietà che mi hai scritto posso riscrivere come segue:
$ y(x)=1/(|2x+sen x|)*int(|2x+sen x|*1/(x^2 - cos x +2))dx +c$ giusto? che se fosse senza il valore assoluto sarebbe immediato...
"arnett":
$|2x+sinx|={(2x+sinx,if x>0),(-2x-sinx,if x<=0):}$
Noi in che caso siamo?
[No riguarda quello che hai scritto in p.s. hai mandato sotto il logaritmo senza motivo]
nel primo caso quindi $2x+sinx,if x>0$
per il fatto del logaritmo ho sbagliato a scrivere
$ln$ non ci voleva... però con il fatto che l'esponente è negativo dovrebbe diventare una frazione giusto?
"arnett":
Sì
quindi arnett se non ho capito male, dal momento che sto nella prima condizione e quindi $2x+sinx,if x>0$ il mio integrale lo posso vedere come: $...*int((2x+sinx) / (x^2 - cos x +2)) dx +c$ o no? Immagino che il fine di studiare il valore assoluto sia proprio quello... Attendo tue conferme
"arnett":
In questa situazione $|2x+sinx|=2x+sinx$. Sono esattamente uguali, non è che "lo vedi come"; sono conti. Comunque sostanzialmente sì.
Grazie mille per la tua disponibilità e la tua chiarezza arnett
ho chiarito i miei dubbi in merito all'esercizio... spero di poter applicare ragionamenti simili ad altri esercizi di questo tipo limitando i problemi che possono sopraggiungere
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