Integrale e principio di induzione
Salve.
Ho il seguente esercizio:
Sia dato in $n\in NN$ l'integrale $I_n=int_0^1x^(n)/(x+5)dx$.
Dopo aver mostrato che $I_n>0$, verificare che vale la relazione $I_n+5I_(n-1)=1/n$, $\forall n>=1$.
Per il primo quesito basta osservare che la funzione integranda è strettamente positiva nell' intervallo di integrazione.
Per il secondo ho pensato di applicare il principio di induzione ma non ne vengo fuori:
Per $n=1$ si ha $I_1+5I_0=1$ che dopo una serie di passaggi porta all'identità $1=1$ (Passo base)
Per quanto riguarda il passo induttivo suppongo che la
$P(n) : I_n+5I_(n-1)=1/n$ è vera per un certo $n$ e cerco di dimostrare che è vera per la proposizione $P(n+1)$.
Il problema è che a questo punto ottengo:
$I_(n+1)+5I_n=1/(n+1)$ che, aiutandomi con la relazione scritta nel passo induttivo,mi porta a:
$I_(n+1)+5/n-25I_(n-1)=1/(n+1)$ che è lungi dall'avere dimostrato la tesi.
Mi sono perso qualcosa?
Ho il seguente esercizio:
Sia dato in $n\in NN$ l'integrale $I_n=int_0^1x^(n)/(x+5)dx$.
Dopo aver mostrato che $I_n>0$, verificare che vale la relazione $I_n+5I_(n-1)=1/n$, $\forall n>=1$.
Per il primo quesito basta osservare che la funzione integranda è strettamente positiva nell' intervallo di integrazione.
Per il secondo ho pensato di applicare il principio di induzione ma non ne vengo fuori:
Per $n=1$ si ha $I_1+5I_0=1$ che dopo una serie di passaggi porta all'identità $1=1$ (Passo base)
Per quanto riguarda il passo induttivo suppongo che la
$P(n) : I_n+5I_(n-1)=1/n$ è vera per un certo $n$ e cerco di dimostrare che è vera per la proposizione $P(n+1)$.
Il problema è che a questo punto ottengo:
$I_(n+1)+5I_n=1/(n+1)$ che, aiutandomi con la relazione scritta nel passo induttivo,mi porta a:
$I_(n+1)+5/n-25I_(n-1)=1/(n+1)$ che è lungi dall'avere dimostrato la tesi.
Mi sono perso qualcosa?
Risposte
Notiamo che
$$I_{n+1}+5I_n=\int_0^1 \frac{x^{n+1}}{x+5}dx+5\int_0^1\frac{x^n}{x+5}dx=\int_0^1 \left(\frac{x^{n+1}}{x+5}+5\frac{x^n}{x+5}\right)dx=\int_0^1 \frac{x^n(x+5)}{x+5}dx=$$
$$=\int_0^1 x^n dx= \left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_{x=0}^{x=1}=\frac{1}{n+1}$$
$$I_{n+1}+5I_n=\int_0^1 \frac{x^{n+1}}{x+5}dx+5\int_0^1\frac{x^n}{x+5}dx=\int_0^1 \left(\frac{x^{n+1}}{x+5}+5\frac{x^n}{x+5}\right)dx=\int_0^1 \frac{x^n(x+5)}{x+5}dx=$$
$$=\int_0^1 x^n dx= \left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_{x=0}^{x=1}=\frac{1}{n+1}$$
grazie!
Scusami Andre@, temo di aver scritto un'idiozia totale sopra: mi sembrava strano infatti che non fosse servita l'ipotesi induttiva, ma ragionandoci sono giunto alla conclusione che non usandola non si dimostra un bel niente (semplicemente si traslano gli indici arrivando al fatto che quella formula vale pure per il successivo, ci sarebbe da dire un bel "grazie al ca..." 
).
Ti riscrivo l'approccio (spero giusto questa volta).
Sei arrivato a $I_{n+1}+\frac{5}{n}-25I_{n-1}$, calcoliamoci a parte la quantità $I_{n+1}-25I_{n-1}$:
$$I_{n+1}-25I_{n-1}=\int_0^1 \frac{x^{n+1}}{x+5}dx-25\int_0^1 \frac{x^{n-1}}{x+5}dx$$
Con conti algebrici, analoghi in tipologia a quelli presenti nel mio post precedente, si giunge a
$$\int_0^1 \frac{x^{n+1}}{x+5}dx-25\int_0^1 \frac{x^{n-1}}{x+5}dx=\int_0^1 \frac{x^{n+1}-25x^{n-1}}{x+5}dx=\int_0^1 \frac{x^n\left(x-\frac{25}{x}\right)}{x+5}dx=\int_0^1 \frac{x^n\left(\frac{x^2-25}{x}\right)}{x+5}dx$$
$$=\int_0^1 \frac{x^n(x^2-25)}{x(x+5)}dx=\int_0^1 \frac{x^n(x-5)(x+5)}{x(x+5)}dx=\int_0^1 \frac{x^n(x-5)}{x}dx=\int_0^1 x^{n-1}(x-5)dx=\int_0^1 (x^n-5x^{n-1})dx=\int_0^1 x^n dx - \int_0^1 5x^{n-1}dx=\frac{1}{n+1}-\frac{5}{n}$$
Perciò sostituendo nella relazione iniziale si ha
$$I_{n+1}+\frac{5}{n}-25I_{n-1}=\frac{1}{n+1}-\frac{5}{n}+\frac{5}{n}=\frac{1}{n+1}$$
Ossia hai ottenuto ciò che volevi dimostrare. Scusami ancora per la svista clamorosa.
). Ti riscrivo l'approccio (spero giusto questa volta).
Sei arrivato a $I_{n+1}+\frac{5}{n}-25I_{n-1}$, calcoliamoci a parte la quantità $I_{n+1}-25I_{n-1}$:
$$I_{n+1}-25I_{n-1}=\int_0^1 \frac{x^{n+1}}{x+5}dx-25\int_0^1 \frac{x^{n-1}}{x+5}dx$$
Con conti algebrici, analoghi in tipologia a quelli presenti nel mio post precedente, si giunge a
$$\int_0^1 \frac{x^{n+1}}{x+5}dx-25\int_0^1 \frac{x^{n-1}}{x+5}dx=\int_0^1 \frac{x^{n+1}-25x^{n-1}}{x+5}dx=\int_0^1 \frac{x^n\left(x-\frac{25}{x}\right)}{x+5}dx=\int_0^1 \frac{x^n\left(\frac{x^2-25}{x}\right)}{x+5}dx$$
$$=\int_0^1 \frac{x^n(x^2-25)}{x(x+5)}dx=\int_0^1 \frac{x^n(x-5)(x+5)}{x(x+5)}dx=\int_0^1 \frac{x^n(x-5)}{x}dx=\int_0^1 x^{n-1}(x-5)dx=\int_0^1 (x^n-5x^{n-1})dx=\int_0^1 x^n dx - \int_0^1 5x^{n-1}dx=\frac{1}{n+1}-\frac{5}{n}$$
Perciò sostituendo nella relazione iniziale si ha
$$I_{n+1}+\frac{5}{n}-25I_{n-1}=\frac{1}{n+1}-\frac{5}{n}+\frac{5}{n}=\frac{1}{n+1}$$
Ossia hai ottenuto ciò che volevi dimostrare. Scusami ancora per la svista clamorosa.
secondo me sono entrambe valide..
Credo ci sia un problema logico, dovuto all'implicazione $P(n)\Rightarrow P(n+1)$; non ne sono sicuro però.
Dico questo perché il principio di induzione asserisce $P(n) \Rightarrow P(n+1)$, quindi deve succedere che l'ipotesi induttiva venga usata per dimostrare il passo $(n+1)$-esimo.
Sarebbe magnifico se qualcuno di più esperto chiarisse la situazione! Attendo speranzoso.
Dico questo perché il principio di induzione asserisce $P(n) \Rightarrow P(n+1)$, quindi deve succedere che l'ipotesi induttiva venga usata per dimostrare il passo $(n+1)$-esimo.
Sarebbe magnifico se qualcuno di più esperto chiarisse la situazione! Attendo speranzoso.
forse hai ragione, nel primo procedimento non si fa uso dell'ipotesi anche se è evidente che sto calcolando la proposizione al passo successivo..
@arnett
E come giustifichi il fatto che è valida per tutti gli $n>=1$ e come fai a passare da $n$ a $n+1$ se non con l'induzione?
E come giustifichi il fatto che è valida per tutti gli $n>=1$ e come fai a passare da $n$ a $n+1$ se non con l'induzione?
Penso sia giustificato dal fatto che, nella prima dimostrazione, $n$ è arbitrario; perciò l'uguaglianza continua a valere se preso $n=k+1$ o qualsiasi altro intero!
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