Integrale e Partizione
Ciao a tutti ragazzi, sono un pò confuso sul concetto di partizione applicata agli integrali, nel senso, non basta dividere l'intervallo a,b e di conseguenza la partizione banale in n intervalli del tipo: $ [x_(i-1),x_i] $? In poche parole il concetto di partizione applicato agli integrali, perché è indispensabile?
Un'altro cosa che mi ha "scosso" tratta il seguente lemma: Sia $ m<=f(x)<=M $ per $ x in [a,b] $: allora, per ogni coppia di partizioni P,Q di [a,b] si ha $ m<=f(x)<=M $ $ m(b-a)<=s(P)<)<=M(b-a) $.
Nella dimostrazione viene posta la partizione R come l'unione della partizione P e Q, ma qua viene ciò che davvero non capisco, ovvero, risulta che la partizione R ha un solo punto in più di P (supposto per semplicità), tralasciando quel "supposto per semplicità" sbaglio o ciò non dovrebbe essere possibile dal momento che una partizione deve essere composta da n+1 punti (n+1 punti per avere la possibilità di poter suddividere la partizione in n intervalli del tipo $ [x_(i-1),x_i] $) e partizioni di uno stesso insieme devono essere tali che la loro intersezione sia nulla?
Grazie in anticipo
Un'altro cosa che mi ha "scosso" tratta il seguente lemma: Sia $ m<=f(x)<=M $ per $ x in [a,b] $: allora, per ogni coppia di partizioni P,Q di [a,b] si ha $ m<=f(x)<=M $ $ m(b-a)<=s(P)<)<=M(b-a) $.
Nella dimostrazione viene posta la partizione R come l'unione della partizione P e Q, ma qua viene ciò che davvero non capisco, ovvero, risulta che la partizione R ha un solo punto in più di P (supposto per semplicità), tralasciando quel "supposto per semplicità" sbaglio o ciò non dovrebbe essere possibile dal momento che una partizione deve essere composta da n+1 punti (n+1 punti per avere la possibilità di poter suddividere la partizione in n intervalli del tipo $ [x_(i-1),x_i] $) e partizioni di uno stesso insieme devono essere tali che la loro intersezione sia nulla?
Grazie in anticipo
Risposte
Non si capisce niente di sta domanda chi è $s(P)$? Dove interviene $Q$ nell'enunciato che riporti?
chi è $s(P)$? Dove interviene $Q$ nell'enunciato che riporti?
Si scusami, allora, con s(P) indico le somme integrali inferiori, con S(P) quelle superiori. Q deriva da qui ... allora, per ogni coppia di partizioni P,Q di [a,b] si ha... In generale viene utilizzato solo per definire R=P U Q, per poi dimostrare che s(R)>=s(P)
Marcellini - Sbordone, i suppose...
Ad ogni modo, la faccenda è semplice e si tratta di ragionare per ricorrenza. Se $P$ è una decomposizione di $[a,b]$, comunque fissi $xi\in [a,b]$, l'insieme $P^\prime =P\cup \{\xi\}$ è anch'esso una decomposizione; in più si trova che le somme integrali superiori $S_f(\cdot)$ e quelle inferiori $s_f(\cdot)$ rispetto a $P$ e $P^\prime$ si comportano come segue:
\[
s_f(P)\leq s_f(P^\prime)\leq S_f(P^\prime)\leq S_f(P)\; .
\]
Per ricorrenza di prova facilmente che se $P\subseteq P^\prime$ allora valgono ancora le precedenti; e, sfruttando questo fatto, si dimostra che prese due partizioni a casaccio $P, P^\prime$ si ha:
\[
\begin{split}
s_f(P), s_f(P^\prime) &\leq s_f(P\cup P^\prime)\\
S_f(P), S_f(P^\prime) &\geq S_f(P\cup P^\prime)\; .
\end{split}
\]
Ad ogni modo, la faccenda è semplice e si tratta di ragionare per ricorrenza. Se $P$ è una decomposizione di $[a,b]$, comunque fissi $xi\in [a,b]$, l'insieme $P^\prime =P\cup \{\xi\}$ è anch'esso una decomposizione; in più si trova che le somme integrali superiori $S_f(\cdot)$ e quelle inferiori $s_f(\cdot)$ rispetto a $P$ e $P^\prime$ si comportano come segue:
\[
s_f(P)\leq s_f(P^\prime)\leq S_f(P^\prime)\leq S_f(P)\; .
\]
Per ricorrenza di prova facilmente che se $P\subseteq P^\prime$ allora valgono ancora le precedenti; e, sfruttando questo fatto, si dimostra che prese due partizioni a casaccio $P, P^\prime$ si ha:
\[
\begin{split}
s_f(P), s_f(P^\prime) &\leq s_f(P\cup P^\prime)\\
S_f(P), S_f(P^\prime) &\geq S_f(P\cup P^\prime)\; .
\end{split}
\]
Grazie tante per la risposta gugo , è il Marcellini-Sbordone (bel libro secondo me 
), comunque effettivamente il tutto torna considerando decomposizioni di [a,b] e non partizioni, proprio perché con decomposizione indichiamo un insieme di punti e con partizioni un insieme di sottoinsiemi oserei dire, o sbaglio? Ma nel caso fosse così non sarebbe stato più appropriato partire dalla definizione di decomposizione dell'intervallo [a,b] piuttosto che da quella di partizione?
P.S: Non so per quale motivo la notazione finale non me la visualizza
, è il Marcellini-Sbordone (bel libro secondo me ), comunque effettivamente il tutto torna considerando decomposizioni di [a,b] e non partizioni, proprio perché con decomposizione indichiamo un insieme di punti e con partizioni un insieme di sottoinsiemi oserei dire, o sbaglio? Ma nel caso fosse così non sarebbe stato più appropriato partire dalla definizione di decomposizione dell'intervallo [a,b] piuttosto che da quella di partizione?P.S: Non so per quale motivo la notazione finale non me la visualizza
Sul libro col termine "partizione" gli autori intendono ciò che usualmente si chiama "decomposizione", cioè un sottoinsieme finito di punti di $[a,b]$, contenente almeno i due punti $a$ e $b$, ed i cui elementi sono enumerati in ordine crescente.
L'ultima formula era scritta male; ora l'ho corretta.
P.S.: A me quel testo non piace granché (da studente ho usato il Giusti e vari testi più datati, tipo il Cafiero, Fiorenza-Greco, Ciliberto, etc...); ma lo consiglio ora ai miei studenti, perché è abbastanza semplice.
L'ultima formula era scritta male; ora l'ho corretta.
P.S.: A me quel testo non piace granché (da studente ho usato il Giusti e vari testi più datati, tipo il Cafiero, Fiorenza-Greco, Ciliberto, etc...); ma lo consiglio ora ai miei studenti, perché è abbastanza semplice.
Tutto molto più chiaro! Grazie mille
Proverò a dare un'occhiata anche al Giusti, magari posso approfondire qualcosa
Proverò a dare un'occhiata anche al Giusti, magari posso approfondire qualcosa
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