Integrale e logaritmo: chiarimento su un passaggio
Vi riporto un esempio di svolgimento di un integrale preso dalle dispense del mio prof su cui ho un dubbio:
$int (2x-3)/(9x^2-4)dx$
$(2x-3)/(3x-2)(3x+2)) = A/(3x-2)+B/(3x+2) = ((3A+3B)x+2A-2B)/(9x^2-4)$
${ (3A+3B = 2), (2A-2B = 3):} => { (A = -5/12), (B = 13/12):}$
Quindi:
$int (2x-3)/(9x^2-4)dx = -5/12 int (dx/(3x-2))+13/12 int (dx/(3x+2)) = -5/36 ln |3x-2| + 13/36 ln |3x+2| + c$
E fin qui tutto chiaro.
Quello che non mi convince è quest'ultimo passaggio, in cui a mio avviso "sparisce" un termine.
$-5/36 log |3x-2| + 13/36 ln |3x+2| + c = 13/5 ln |(3x+2)/(3x-2)| +c$
Ho provato a giungere a questo applicando le proprietà dei logaritmi (con cui peraltro ho un brutto rapporto
), ma questo è quel che ne risulta (ometto la costante $c$ per comodità):
$-5/36 ln |3x-2| + 13/36 ln |3x+2| = 1/36 (13 ln |3x+2| - 5 ln |3x-2|) = 1/36( ln (|3x+2|^13) - ln(|3x-2|^5)) =$
$= 1/36 (ln (|3x+2|^13/(|3x-2|^5)))$(*)$ = 1/36*13/5ln(|(3x+2)/(3x-2))|) = 13/180 ln(|(3x+2)/(3x-2)|)$
Lì ci ho messo un bell'asterisco proprio perché non ricordo nessuna proprietà dei logaritmi tale che, se $a,b,n,m>=0$ risulti $ln(a^n/b^m) = n/m ln(a/b)$, né tantomeno riesco a farla seguire logicamente dalle proprietà a me note.
Tuttavia do per scontato che una tale proprietà esista, anche perché altrimenti non si spiegherebbe assolutamente nulla dell'ultimo passaggio svolto sulle dispense
Già che ci sono, vi mostro il mio misero tentativo di ricavarmi la proprietà suddetta:
$ln(a^n/b^m) = n ln(a) + m ln(1/b) = n/m (m ln(a) + 1/n ln(1/b)) = n/m (ln(a^m)+ln(1/root(n)(b))) = n/m ln (a^m / root(n)(b))$,
che mi sembra diverso dal $n/m ln (a/b)$ che avevo ipotizzato e anche se fosse uguale non vedo proprio perché dovrebbe esserlo..!
Attendo lumi....
$int (2x-3)/(9x^2-4)dx$
$(2x-3)/(3x-2)(3x+2)) = A/(3x-2)+B/(3x+2) = ((3A+3B)x+2A-2B)/(9x^2-4)$
${ (3A+3B = 2), (2A-2B = 3):} => { (A = -5/12), (B = 13/12):}$
Quindi:
$int (2x-3)/(9x^2-4)dx = -5/12 int (dx/(3x-2))+13/12 int (dx/(3x+2)) = -5/36 ln |3x-2| + 13/36 ln |3x+2| + c$
E fin qui tutto chiaro.
Quello che non mi convince è quest'ultimo passaggio, in cui a mio avviso "sparisce" un termine.
$-5/36 log |3x-2| + 13/36 ln |3x+2| + c = 13/5 ln |(3x+2)/(3x-2)| +c$
Ho provato a giungere a questo applicando le proprietà dei logaritmi (con cui peraltro ho un brutto rapporto
), ma questo è quel che ne risulta (ometto la costante $c$ per comodità):$-5/36 ln |3x-2| + 13/36 ln |3x+2| = 1/36 (13 ln |3x+2| - 5 ln |3x-2|) = 1/36( ln (|3x+2|^13) - ln(|3x-2|^5)) =$
$= 1/36 (ln (|3x+2|^13/(|3x-2|^5)))$(*)$ = 1/36*13/5ln(|(3x+2)/(3x-2))|) = 13/180 ln(|(3x+2)/(3x-2)|)$
Lì ci ho messo un bell'asterisco proprio perché non ricordo nessuna proprietà dei logaritmi tale che, se $a,b,n,m>=0$ risulti $ln(a^n/b^m) = n/m ln(a/b)$, né tantomeno riesco a farla seguire logicamente dalle proprietà a me note.
Tuttavia do per scontato che una tale proprietà esista, anche perché altrimenti non si spiegherebbe assolutamente nulla dell'ultimo passaggio svolto sulle dispense
Già che ci sono, vi mostro il mio misero tentativo di ricavarmi la proprietà suddetta:
$ln(a^n/b^m) = n ln(a) + m ln(1/b) = n/m (m ln(a) + 1/n ln(1/b)) = n/m (ln(a^m)+ln(1/root(n)(b))) = n/m ln (a^m / root(n)(b))$,
che mi sembra diverso dal $n/m ln (a/b)$ che avevo ipotizzato e anche se fosse uguale non vedo proprio perché dovrebbe esserlo..!
Attendo lumi....
Risposte
"The_Mad_Hatter":
Lì ci ho messo un bell'asterisco proprio perché non ricordo nessuna proprietà dei logaritmi tale che, se $a,b,n,m>=0$ risulti $ln(a^n/b^m) = n/m ln(a/b)$, né tantomeno riesco a farla seguire logicamente dalle proprietà a me note.
Mai sentita una proprietà del genere, per quanto ne so io.
L'unica via corretta che mi viene in mente è questa:
$ln(\frac{|3x+2|^13}{|3x-2|^5})=ln(\frac{|3x+2|^5}{|3x-2|^5})+ln|3x+2|^8=ln(|\frac{3x+2}{3x-2}|^5)+ln|3x+2|^8$
e quindi abbiamo poi $5*ln(|\frac{3x+2}{3x-2}|)+8*ln|3x+2|$
che si può scrivere in questo modo: $13*ln|3x+2|-5*ln|3x-2|$
Non si arriva al risultato che hai detto tu però.
E' possibile che sia errato il risultato?
"Alxxx28":
Mai sentita una proprietà del genere, per quanto ne so io.
L'unica via corretta che mi viene in mente è questa:
$ln(\frac{|3x+2|^13}{|3x-2|^5})=ln(\frac{|3x+2|^5}{|3x-2|^5})+ln|3x+2|^8=ln(|\frac{3x+2}{3x-2}|^5)+ln|3x+2|^8$
e quindi abbiamo poi $5*ln(|\frac{3x+2}{3x-2}|)+8*ln|3x+2|$
che si può scrivere in questo modo: $13*ln|3x+2|-5*ln|3x-2|$
Non si arriva al risultato che hai detto tu però.
E' possibile che sia errato il risultato?
Beh, la cosa positiva è che allora probabilmente non stavo svalvolando.
Ai risultati da te citati in effetti ci ero arrivato nel caso generale, ragionando su $log(a^n/b^m)$.
Sulle dispense è effettuato testualmente il passaggio $-5/36 log |3x-2| + 13/36 ln |3x+2| + c = 13/5 ln |(3x+2)/(3x-2)| +c$, la possibilità che sia sbagliato ovviamente esiste, ma d'istinto tenderei ad escluderla anche perché tante volte mi sono trovato in disaccordo con le slide pensando anche che potessero essere sbagliate, ma poi dopo essermici sbattuto un po' più seriamente sono sempre giunto alla conclusione che ero io a mancare di qualche passaggio.
Non prendo mai nulla per oro colato ma allo stesso tempo ho fiducia che ciò che leggo nel mio materiale di studio sia corretto... e parto da questo presupposto, quindi se non riesco a dimostrare qualcosa come prima cosa credo che sia colpa delle mie carenze.
Al massimo potrei provare a mandare una mail al prof, ma preferisco sentire altri pareri prima.
infondo ciò che mi piace della matematica è proprio il fatto che -per lo più- sia democratica: esistono delle verità e a contare sono esse stesse e non la rilevanza di chi le dice! :p
Quindi ho fiducia che molti in questo forum mi sappiano dire se quel passaggio sia giusto (ed eventualmente come ci si arrivi) o sbagliato.
Io al momento propendo per la seconda ipotesi...
Chiaramente falsa, supponiamo che si abbia $x=1$
Allora il passaggio che ha fatto il professore ci dice che:
$5/36log|1|+13/36ln|5|+c=13/5ln |5/1|$
ma $ln1=0$ quindi si avrebbe
$13/36 ln (5) = 13/5 ln(5)$ che non c'è bisogno di dire che è assurdo!
Allora il passaggio che ha fatto il professore ci dice che:
$5/36log|1|+13/36ln|5|+c=13/5ln |5/1|$
ma $ln1=0$ quindi si avrebbe
$13/36 ln (5) = 13/5 ln(5)$ che non c'è bisogno di dire che è assurdo!
"Zkeggia":
Chiaramente falsa, supponiamo che si abbia $x=1$
Allora il passaggio che ha fatto il professore ci dice che:
$5/36log|1|+13/36ln|5|+c=13/5ln |5/1|$
ma $ln1=0$ quindi si avrebbe
$13/36 ln (5) = 13/5 ln(5)$ che non c'è bisogno di dire che è assurdo!
Ok grazie... non avevo pensato di verificarlo assegnando ad $x$ un valore.
Grazie a tutti
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