Integrale e limite
Salve a tutti. Volevo proporre due esercizi:
il primo chiede di calcolare il seguente integrale:
$ int_(1)^(2) ln(sqrt(1+t+t^2))/(t^3) $
Ho proceduto cercando di eliminare il logaritmo. Ho quindi integrato per parti scegliendo $1/t^3$ come derivata prima di una funzione nota. A quel punto ottengo un integrale che dipende da $t$ e da una radice. All'interno della stessa, con completamento di quadrato e raccoglimento, ho fatto in modo che comparisse qualcosa del tipo $z^2+1$ (con una sostituzione lineare) e poi sono andato avanti ponendo $z=senh(y)$. Poi posso porre $s=e^z$ ma l'integrale razionale che ottengo è davvero brutto. CI sono metodi alternativi?
Il secondo esercizio chiede di calcolare un limite. In particolare
$ lim_(x -> 0^+) (int_(0)^(x) e^(-t^2) sen^4(x))/((1-cos(x))(1+2xsen(x))) $
Il limite si presenta nella forma $0/0$ quindi applico i teoremi De L'Hopital. Quello che ne viene fuori è ancora un limite della stessa forma dove pensavo di applicare Taylor ma non so bene come muovermi (non ho mai visto a lezione limiti svolti col teorema di Taylor). Potreste darmi una mano?
Grazie
il primo chiede di calcolare il seguente integrale:
$ int_(1)^(2) ln(sqrt(1+t+t^2))/(t^3) $
Ho proceduto cercando di eliminare il logaritmo. Ho quindi integrato per parti scegliendo $1/t^3$ come derivata prima di una funzione nota. A quel punto ottengo un integrale che dipende da $t$ e da una radice. All'interno della stessa, con completamento di quadrato e raccoglimento, ho fatto in modo che comparisse qualcosa del tipo $z^2+1$ (con una sostituzione lineare) e poi sono andato avanti ponendo $z=senh(y)$. Poi posso porre $s=e^z$ ma l'integrale razionale che ottengo è davvero brutto. CI sono metodi alternativi?
Il secondo esercizio chiede di calcolare un limite. In particolare
$ lim_(x -> 0^+) (int_(0)^(x) e^(-t^2) sen^4(x))/((1-cos(x))(1+2xsen(x))) $
Il limite si presenta nella forma $0/0$ quindi applico i teoremi De L'Hopital. Quello che ne viene fuori è ancora un limite della stessa forma dove pensavo di applicare Taylor ma non so bene come muovermi (non ho mai visto a lezione limiti svolti col teorema di Taylor). Potreste darmi una mano?
Grazie
Risposte
Il primo esercizio:
Si noti che \(\displaystyle ln(\sqrt{t})=\frac{ln(t)}{2} \)
Il secondo esercizio:
Puoi dimonstrare il limite dopo l'applicozione di De L'Hopital?
Si noti che \(\displaystyle ln(\sqrt{t})=\frac{ln(t)}{2} \)
Il secondo esercizio:
Puoi dimonstrare il limite dopo l'applicozione di De L'Hopital?
Per il limite puoi applicare De L'Hopital, ma prima di farlo prova a riscrivere il denominatore come
\[\dfrac{1}{2}x^2\cdot(1+2x^2)=x^4+\dfrac{1}{2}x^2\]
Ciao
\[\dfrac{1}{2}x^2\cdot(1+2x^2)=x^4+\dfrac{1}{2}x^2\]
Ciao
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