Integrale e differenziale
we 
ho una perplessità su due cosa, una penso sia semplice.
integrali
in particolare nella ricerca di una primitiva.
sia $F(x)=intf(x)dx$ una funzione $F:S->T, (S,TsubseteqRR)$
la primitiva di $f(x)=F(x)$ è derivabile in un punto $x_0inS <=> f(x)$ è continua in $x_0$?
ragionandoci una discontinuità per $f$ implicherebbe un punto di non derivabilità per $F$
anche nel caso più banale di $F(x)=int|x|dx$ sicuramente $F$ non è derivabile in $x=0$
Allargandoci ulteriormente, invece, non avendo ancora conoscenze troppo ampie, visto che ancora frequento il $5°$ anno e non l'università: mi potreste dare una definizione rigorosa al punto giusto, ma che posso comprendere fino in fondo, in modo da essere un passo avanti rispetto al liceo ed un passo soltanto indietro rispetto all'università?
So soltanto, che un criterio sufficente per l'integrabilità, è la continuità.
Però non mi hanno mai fornito dimostrazioni o cose simili, e la cosa mi urta.
differenziale
il rapporto $dy/dx=f'(x)$ indicherebbe ovviamente il concetto di derivata.
ma ad esempio quando ho studiato il differenziale per l'approssimazione di una funzione, ovvero:
$f(x_0+Deltax)approxf'(x_0)Deltax+f(x_0)$
(naturalmente parlando di funzioni di una variabile reale) so che una funzione è differenziabile se e solo se si può approssimare in tale modo.
Quando però mi trovo $dy=f'(x)Deltax$ la cosa mi turba un sacco visto che negli integrali devo accettare per fede la sostituzione del differenziale.
potete chiarirmi questo aspetto del differenziale? se non chiedo troppo.
Anche perché su internet lo trovo esageratamente vago in merito, oppure esageratamente specifico al momento per me.
ho una perplessità su due cosa, una penso sia semplice.
integrali
in particolare nella ricerca di una primitiva.
sia $F(x)=intf(x)dx$ una funzione $F:S->T, (S,TsubseteqRR)$
la primitiva di $f(x)=F(x)$ è derivabile in un punto $x_0inS <=> f(x)$ è continua in $x_0$?
ragionandoci una discontinuità per $f$ implicherebbe un punto di non derivabilità per $F$
anche nel caso più banale di $F(x)=int|x|dx$ sicuramente $F$ non è derivabile in $x=0$
Allargandoci ulteriormente, invece, non avendo ancora conoscenze troppo ampie, visto che ancora frequento il $5°$ anno e non l'università: mi potreste dare una definizione rigorosa al punto giusto, ma che posso comprendere fino in fondo, in modo da essere un passo avanti rispetto al liceo ed un passo soltanto indietro rispetto all'università?
So soltanto, che un criterio sufficente per l'integrabilità, è la continuità.
Però non mi hanno mai fornito dimostrazioni o cose simili, e la cosa mi urta.
differenziale
il rapporto $dy/dx=f'(x)$ indicherebbe ovviamente il concetto di derivata.
ma ad esempio quando ho studiato il differenziale per l'approssimazione di una funzione, ovvero:
$f(x_0+Deltax)approxf'(x_0)Deltax+f(x_0)$
(naturalmente parlando di funzioni di una variabile reale) so che una funzione è differenziabile se e solo se si può approssimare in tale modo.
Quando però mi trovo $dy=f'(x)Deltax$ la cosa mi turba un sacco visto che negli integrali devo accettare per fede la sostituzione del differenziale.
potete chiarirmi questo aspetto del differenziale? se non chiedo troppo.
Anche perché su internet lo trovo esageratamente vago in merito, oppure esageratamente specifico al momento per me.
Risposte
Provo a risponderti in merito alla parte integrale:
Non dimenticarti un'importante proprietà: una funzione derivabile in un punto è ivi continua, ma non per forza il contrario!
Come hai fatto l'esempio tu, il modulo non è derivabile in 0, ma è ivi continuo, quindi integrabile
Come hai giustamente citato tu, se si ha un intervallo chiuso e limitato $ [a,b] $ e la funzione $ f:[a,b]rarrR $ è continua allora sarà integrabile in $ [a,b] $
Esistono altre condizioni, ad esempio una funzione può essere integrabile anche con un numero finito di discontinuità.
Oppure ancora se la funzione ha un numero infinito di discontinuità ma è monotona, allora è integrabile nell'intervallo $ [a,b] $
Non so se ho soddisfatto la tua curiosità, questo per dirti che esistono varie condizioni per l'integrabilità di una funzione e che la continuità è una delle più importanti, ma non è l'unica via di salvezza.
In particolare bisogna sempre ricordarsi che se una funzione è continua non per forza deve essere derivabile, mentre il contrario è palese.
Probabilmente qualcuno più esperto saprà risponderti meglio, non ho voluto andare troppo nel dettaglio e nella dimostrazione.
Non dimenticarti un'importante proprietà: una funzione derivabile in un punto è ivi continua, ma non per forza il contrario!
Come hai fatto l'esempio tu, il modulo non è derivabile in 0, ma è ivi continuo, quindi integrabile
Come hai giustamente citato tu, se si ha un intervallo chiuso e limitato $ [a,b] $ e la funzione $ f:[a,b]rarrR $ è continua allora sarà integrabile in $ [a,b] $
Esistono altre condizioni, ad esempio una funzione può essere integrabile anche con un numero finito di discontinuità.
Oppure ancora se la funzione ha un numero infinito di discontinuità ma è monotona, allora è integrabile nell'intervallo $ [a,b] $
Non so se ho soddisfatto la tua curiosità, questo per dirti che esistono varie condizioni per l'integrabilità di una funzione e che la continuità è una delle più importanti, ma non è l'unica via di salvezza.
In particolare bisogna sempre ricordarsi che se una funzione è continua non per forza deve essere derivabile, mentre il contrario è palese.
Probabilmente qualcuno più esperto saprà risponderti meglio, non ho voluto andare troppo nel dettaglio e nella dimostrazione.
Sulla prima parte, la domanda si può riassumere: è vero che se una funzione è derivabile allora la derivata è continua? La risposta è no, esistono derivate non continue. Esempio tipico:
\[
f(x)=\begin{cases} x^2\sin\frac{1}{x}, & x\ne 0\\ 0, & x=0\end{cases}\]
Questa funzione è derivabile su tutto $\mathbb{R}$ ma la sua derivata non è continua per \(x=0\).
Sul differenziale, non bisogna usare il simbolo di \(\approx\) come fosse una uguaglianza. L'errore è solo lì.
\[
f(x)=\begin{cases} x^2\sin\frac{1}{x}, & x\ne 0\\ 0, & x=0\end{cases}\]
Questa funzione è derivabile su tutto $\mathbb{R}$ ma la sua derivata non è continua per \(x=0\).
Sul differenziale, non bisogna usare il simbolo di \(\approx\) come fosse una uguaglianza. L'errore è solo lì.
Intanto grazie a entrambi.
Per quanto riguarda il differenziale il simbolo $approx$ lo intendo come un'approssimazione.
Però non mi torna come
$Deltaxapproxdx$
fodse sta solo quì il mio dilemma.
Mentre per il secondo, si la condizione che se avesse incerto numero finito di discontinuità, si potesse integrare impropriamente mi era nota. Anche se la cosa ha senso solo de l'integrale converge.
Più che altro volevo una condizione di integra voluta per la ricerca delle primitive.
Se sfrutto la definizione di primitiva, ovvero:
una primitiva di una funzione, è tale se $F'(x)=f(x) forallx inSsunseteqRR$ naturalmente questa uguaglianza è vera se e solo se, la funzione $F$ è derivabile, ovvero se la derivata è continua in un determinato punto.
Quindi la continuità di $f$ è sufficiente affinché $f$ sia integrabile.
Però ora passo ad un esempio:
$F(x)=intx/|x|dx$ ha come dominio $xne=0$ ovviamente è un punto di non derivabilità.
Svolgendo l'integrale $F(x)=|x|+c$ ora.. Il dominio di $F$ devo estenderlo per continuità nel punto $x=0$ oppure mantenere il dominio dell'integranda?
Per quanto riguarda il differenziale il simbolo $approx$ lo intendo come un'approssimazione.
Però non mi torna come
$Deltaxapproxdx$
fodse sta solo quì il mio dilemma.
Mentre per il secondo, si la condizione che se avesse incerto numero finito di discontinuità, si potesse integrare impropriamente mi era nota. Anche se la cosa ha senso solo de l'integrale converge.
Più che altro volevo una condizione di integra voluta per la ricerca delle primitive.
Se sfrutto la definizione di primitiva, ovvero:
una primitiva di una funzione, è tale se $F'(x)=f(x) forallx inSsunseteqRR$ naturalmente questa uguaglianza è vera se e solo se, la funzione $F$ è derivabile, ovvero se la derivata è continua in un determinato punto.
Quindi la continuità di $f$ è sufficiente affinché $f$ sia integrabile.
Però ora passo ad un esempio:
$F(x)=intx/|x|dx$ ha come dominio $xne=0$ ovviamente è un punto di non derivabilità.
Svolgendo l'integrale $F(x)=|x|+c$ ora.. Il dominio di $F$ devo estenderlo per continuità nel punto $x=0$ oppure mantenere il dominio dell'integranda?
"anto_zoolander":
una primitiva di una funzione, è tale se $F'(x)=f(x) forallx inSsunseteqRR$ naturalmente questa uguaglianza è vera se e solo se, la funzione $F$ è derivabile, ovvero se la derivata è continua in un determinato punto.
No. Come dicevo sopra, anche se una funzione è derivabile in un punto potrebbe comunque capitare che la derivata non sia continua in quel punto. Prova a ragionare sull'esempio che ho scritto nel mio post precedente per renderti conto che la sua derivata esiste in $0$ ma non è continua.
Comunque sono questioni sottili. Generalmente si tende a mettersi in ipotesi di continuità della derivata in modo da evitare di dovercisi impelagare.
Ora ci ragiono grazie mille 
Eh appunto nel'esempio che ti ho fatto prima, mi sono messo in ipotesi di continuità dell'integranda. Ma quando ottengo la primitiva, il dominio andrà appositamente rivisto?
Eh appunto nel'esempio che ti ho fatto prima, mi sono messo in ipotesi di continuità dell'integranda. Ma quando ottengo la primitiva, il dominio andrà appositamente rivisto?
Questi problemi sorgono quando si usa il simbolo di integrale indefinito, che è ambiguo. Va bene solo per calcoli pratici ma non per la teoria. Se vuoi ragionare sulla teoria, il simbolo da usare è quello di integrale definito. Vedrai che usandolo sistematicamente i tuoi dubbi svaniranno.
In generale non vale l'uguaglianza:
$intf(x)=int_{a}^{x}f(t)dt+F(a)$?
Forse sto cercando di comprendere adesso un concetto troppo importante per essere soltanto al liceo.
$intf(x)=int_{a}^{x}f(t)dt+F(a)$?
Forse sto cercando di comprendere adesso un concetto troppo importante per essere soltanto al liceo.
Rispondendo alla tua ultima domanda, secondo me no.
Si, se la funzione $f$ è continua in tutto un intervallo, e se ci si è messi d'accordo sul fatto che $x$ appartiene a questo intervallo allora si. Ma già se inizi a prendere $f$ come nel tuo esempio precedente (mi pare fosse $f(x)=1$ se $x>0$ e $f(x)=-1$ per $x<0$), vedi che iniziano i dolori di testa.
Aggiungo una cosa. E' diverso dire che una funzione è "integrabile" nel senso degli integrali indefiniti e nel senso degli integrali definiti. Nel primo caso, è più corretto parlare di "funzioni che ammettono primitive". Stabilire esattamente quali funzioni ammettano primitive è un problema in generale molto difficile. Attenzione! È molto diverso dire che una funzione "ammette primitiva" e dire che una funzione "ammette primitiva esprimibile in funzioni elementari", quindi la funzione $e^{-x^2}$ non vale come esempio.
Tutta questa confusione viene dal simbolo di integrale indefinito; come ho già detto altre volte, io lo eliminerei completamente dai curriculum didattici. Se sei al liceo, io ti consiglio di concentrarti sull'integrale definito. E' quello il vero oggetto che bisogna capire.
Aggiungo una cosa. E' diverso dire che una funzione è "integrabile" nel senso degli integrali indefiniti e nel senso degli integrali definiti. Nel primo caso, è più corretto parlare di "funzioni che ammettono primitive". Stabilire esattamente quali funzioni ammettano primitive è un problema in generale molto difficile. Attenzione! È molto diverso dire che una funzione "ammette primitiva" e dire che una funzione "ammette primitiva esprimibile in funzioni elementari", quindi la funzione $e^{-x^2}$ non vale come esempio.
Tutta questa confusione viene dal simbolo di integrale indefinito; come ho già detto altre volte, io lo eliminerei completamente dai curriculum didattici. Se sei al liceo, io ti consiglio di concentrarti sull'integrale definito. E' quello il vero oggetto che bisogna capire.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo