Integrale doppio..problemi sull'angolo $\theta$

[21zuclo]

Ciao a tutti, mi sono trovato di fronte quest'integrale doppio, ma purtroppo non ho la soluzione. Ho maggiori problemi a trovare l'angolo $\theta$. Aiutatemi per favore.

$ \int_A (2x+y-4)dxdy $
ove $ A=\{((x),(y))\in RR^2| x\geq 2-2\sqrt(2), x^2+y^2-4x\leq 12\} $

ho provato a impostare così l'integrale

prima di tutto metto a posto la circonferenza $ x^2+y^2-4x\leq 12\to (x-2)^2+y^2\leq 16 $

visto il dominio passo in coordinate polari ponendo $ { ( x=2+\rho \cos\theta ),( y=\rho \sin \theta ):} $

quindi sostituisco nell'insieme A
$ { ( 2+\rho\cos\theta\geq 2-2\sqrt(2) ),( rho^2\cos^2\theta+\rho^2\sin^2\theta\leq 16 ):}\to { ( \rho\cos\theta\geq -2\sqrt(2) ),( \rho\leq 4 ):} $

quindi ricavo che $ \rho\in [(-2\sqrt(2))/(\cos\theta), 4] $

ma ora l'angolo $\theta$ non so, dove farlo variare.. potrei dire che $\cos\theta\geq (-2\sqrt(2))/(\rho)$

quindi poi con l'arco-coseno.. ma poi?..

Oppure sono completamente fuori strada?..

[dissonance]

Ma no, è chiaro che \(\theta\) deve compiere un giro completo.

[21zuclo]

"dissonance":Ma no, è chiaro che \(\theta\) deve compiere un giro completo.

cioè dici $\theta \in [0,2\pi]$ ?

da cosa l'hai dedotto?..

[dissonance]

Dal disegno. Fai finta che la condizione \(x\ge 2-2\sqrt{2}\) non ci sia. Allora chiaramente il dominio di integrazione sarebbe descritto dalle condizioni \(\theta\in (-\pi, \pi), \rho\in (0, 2)\). Ora devi incorporare la condizione sulla \(x\) e questo si traduce in una condizione su \(\rho\) per \(\theta \in (-\pi, -\arccos \frac{\sqrt{2}}{2})\cup(\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}, \pi) \).

[21zuclo]

"dissonance":Dal disegno. Fai finta che la condizione \(x\ge 2-2\sqrt{2}\) non ci sia. Allora chiaramente il dominio di integrazione sarebbe descritto dalle condizioni \(\theta\in (-\pi, \pi), \rho\in (0, 2)\). Ora devi incorporare la condizione sulla \(x\) e questo si traduce in una condizione su \(\rho\) per \(\theta \in (-\pi, -\arccos \frac{\sqrt{2}}{2})\cup(\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}, \pi) \).

allora se tolgo la condizione come hai detto tu $ x\geq 2-2\sqrt(2) $

ho solamente la parte interna di una circonferenza con centro $ C=((2),(0)) $ e raggio $ r=4 $

ora solo per capire.. tu hai scritto $ \theta \in [-\pi,\pi] $

io invece avrei scritto $ \theta \in [0,2\pi] $

cosa sbaglio?..

[Brancaleone1]

Beh $theta$ è un angolo: calcolare l'integrale tra $-pi$ e $pi$ oppure tra $0$ e $2pi$ è la stessa cosa, compi sempre un angolo giro

Si potrebbe anche agire in un'altra maniera, ma un po' più lunga...

Poiché per $x>=2-2sqrt2$ vale la condizione $0<=rho<=4$, puoi integrare tale parte una volta ricavati i due angoli individuati dai punti di intersezione tra la circonferenza e la retta $x=2-2sqrt2$ (uno misura $3/4pi$ e l'altro $-3/4pi$). Quindi il primo pezzo è

$int_0^4 rho int_(-3/4pi)^(3/4pi) [2(2+rhocos(theta))+rhosin(theta)-4] text(d)rho text(d)theta$

Il secondo pezzo è il triangolo rimanente, che puoi a sua volta dividerlo in due parti: l'integrale sull'area tra il primo e il secondo quadrante è

$int_(2-2sqrt2)^2 int_0^(-x+2) (2x+y-4) text(d)y text(d)x$

mentre l'integrale sull'area tra il terzo e il quarto quadrante è

$int_(-2sqrt2)^0 int_(2-2sqrt2)^(y+2) (2x+y-4) text(d)x text(d)y$

Quindi mettendo insieme tutti i pezzi:

$int_A (2x+y-4) text(d)x text(d)y = int_0^4 rho int_(-3/4pi)^(3/4pi) [2(2+rhocos(theta))+rhosin(theta)-4] text(d)rho text(d)theta + $

$+ int_(2-2sqrt2)^2 int_0^(-x+2) (2x+y-4) text(d)y text(d)x + int_(-2sqrt2)^0 int_(2-2sqrt2)^(y+2) (2x+y-4) text(d)x text(d)y$

[21zuclo]

quindi in definitiva si ha.. (correggetemi se sbaglio, o ditemi Ok se è esatto)

dominio in polari

$ A'=\{((\rho),(\theta))| [(-2\sqrt(2))/(\cos\theta), 4]\xx [\arccos((-2\sqrt(2))/(\rho)), 2\pi]\} $

ove $\arccos((-2\sqrt(2))/(\rho))$ l'ho ottenuto dalla prima disuguaglianza $x\geq 2-2\sqrt(2)$

$ 2+\rho\cos\theta\geq 2-2\sqrt(2)\to \cos\theta\geq (-2\sqrt(2))/(\rho)\to \theta\geq \arccos((-2\sqrt(2))/(\rho)) $

[dissonance]

No no no no, aspetta. Che è questa roba? Quel dominio non è un prodotto cartesiano, nemmeno in coordinate polari. Devi scrivere delle disuguaglianze in termini di \(\rho\) e \(\theta\).

[21zuclo]

ah ok va bene..

$\rho \in [(-2\sqrt(2))/(\cos\theta), 4]$ $\theta \in [\arccos((-2\sqrt(2))/(\rho)), 2\pi]$

l'avevo scritto con il simbolo $\xx$
perchè una volta il mio prof ci aveva dato una traccia scritta così

$ \int_E xy^2+z^3dxdydz $
ove $ E=[0,3]\xx [0,2] \xx [0,1] $
e poi ce l'ha messo lui e noi dovevamo solamente fare il calcolo... non sapevo fosse sbagliato scrivere così..

[dissonance]

Purtroppo hai le idee confuse. Non è che "è sbagliato". Nel caso del prof andava bene scrivere il dominio come un prodotto cartesiano: è un parallelepipedo, e i prodotti cartesiani in coordinate cartesiane sono i parallelepipedi. In coordinate polari piane, sono prodotti cartesiani gli anelli. Il tuo dominio non è un anello e quindi non puoi scriverlo come un prodotto cartesiano.