Integrale doppio..dubbio cambio di variabili

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11 giu 2018, 21:18

Ciao a tutti, sto un po' ripassando gli integrali doppi e mi sono trovato di fronte a questo integrale

$ \int_(D) \sin(x+2y)\cos(3x-y)dxdy $
ove $ D=\{(x,y)^t\in RR^2|x\geq 0, 3x-y\leq0, x+2y\leq 1\} $

ovviamente bisogna fare un cambio di variabili

definisco $ (u,v)^t\in RR^2\to { ( u=3x-y ),( v=x+2y ):} $

calcolo lo Jacobiano
$ Jac=[det( ( \partial_x u , \partial_y u ),( \partial_x v , \partial_y v ) ) ]^(-1)=[det( ( 3 , -1 ),( 1 , 2 ) ) ]^(-1)=[6+1]^(-1)=1/7 $

ora però ho difficoltà gli estremi di integrazione

cioè so solamente che $ v\leq 1 $ e $u\leq 0$

ma gli altri estremi di integrazione, come li determino?.. qualche suggerimento?

Grazie

Risposte

bosmer-votailprof

12 giu 2018, 09:25

Prima di tutto in generale non è detto che tu li possa sempre determinare, infatti il dominio potrebbe essere illimitato per esempio... Comunque non è questo il caso.

Tu hai nel dominio che $x\ge 0$ sfruttiamola!
Dobbiamo in questo caso, come in molti altri, esplicitare la trasformazione di coordinate, e non limitarci a scrivere la trasformazione inversa come hai fatto tu.
Con due conticini otteniamo che $$x=\frac{2u+v}{7}$$ $$y=\frac{3v-u}{7}$$ adesso applichiamo il fatto che $x\ge 0$ alla prima ottenendo che $v \ge -2u$ per ottenere la condizione su $u$ basta guardare la disuguaglianza nell'altro senso, e si ha $-2u\le v\le 1$ e quindi $u\ge-1/2$. Un grafico nel piano $u,v$ ti semplificherà la visione di questo fatto, è sempre utile fare i disegni dei domini, prima e dopo le trasformazioni.

Giusto per conoscenza, l'integrale ti deve venire $4/21 \sin^3(1/2)$

21zuclo

12 giu 2018, 09:40

ho capito come hai trovato $-2u\leq v\leq 1$

ma con $u$, ok si ha $u\geq -1/2$

quindi si ha $-1/2 \leq u \leq 0$ .. giusto?

o sbaglio ancora qualcosa?

in sostanza non ho capito molto di come trovare gli estremi di integrazione, per $v\in [-2u,1]$

ma per $u$ ?

bosmer-votailprof

12 giu 2018, 10:17

non penso di aver capito nessuna delle tue domande XD
Allora gli estremi sono $-1/2 \le u \le 0$ e $-2u \le v \le 1$ fine. se ti aspettavi che gli estremi fossero quattro numeri, mi dispiace ma non è possibile, perché quel caso particolare ce l'hai solo quando il dominio viene trasformato in un rettangolo e non è questo il caso. E li ho trovati risolvendo le disequazioni. Ma se fai il disegno nel piano $u,v$ è più semplice capire.

Non so se ti ho risposto perché non ho proprio capito quello che hai scritto.

21zuclo

12 giu 2018, 10:33

sì mi sarei aspettato solo numeri

comunque ok va bene.. ora basta solo calcolare l'integrale.

Ok va bene.

Grazie!

21zuclo

12 giu 2018, 11:09

"Bossmer":
non penso di aver capito nessuna delle tue domande XD
Allora gli estremi sono $-1/2 \le u \le 0$ e $-2u \le v \le 1$ fine. se ti aspettavi che gli estremi fossero quattro numeri, mi dispiace ma non è possibile, perché quel caso particolare ce l'hai solo quando il dominio viene trasformato in un rettangolo e non è questo il caso. E li ho trovati risolvendo le disequazioni. Ma se fai il disegno nel piano $u,v$ è più semplice capire.

Non so se ti ho risposto perché non ho proprio capito quello che hai scritto.

c'è qualcosa che non mi quadra però

allora per trovare questa condizione $-1/2\leq u \leq 0$

tu l'hai presa da qua $-2u\leq v \leq 1$

quindi si ha $-2u\leq 1$

ma non dovrebbe essere $u\geq 1/2$

perché è come se risolvessi questa disequazione

$-2u+1\leq 0 \to 2u-1\geq 0 \to u\geq 1/2$

quindi poi mi ritrovo con $u\geq 1/2$ e $u\leq 0$

bosmer-votailprof

12 giu 2018, 11:21

"21zuclo":

quindi si ha $-2u\leq 1$

ma non dovrebbe essere $u\geq 1/2$

perché è come se risolvessi questa disequazione

$-2u+1\leq 0 \to 2u-1\geq 0 \to u\geq 1/2$

quindi poi mi ritrovo con $u\geq 1/2$ e $u\leq 0$

Nein Nein Nein!!!!!