Integrale doppio utilizzando Green-Gauss

[zoso89-votailprof]

Salve a tutti, vi mostro la risoluzione di un integrale doppio utilizzando una formula di Green-Gauss. Ciò che non mi torna è il segno negativo nel risultato finale.

Calcolare l'integrale $ int int_(D) x dx dy $ nel dominio $D:{x>0;y>=0;y<=x^2;x^2+y^2<=2}$

Utilizzo la seguente formula $ int int_(D) P_y dx dy = - int_(+FD)P dx $:

$P_y = x$ quindi $P=xy$

Applicando la formula precedente: $ int int_(D) x dx dy = - int_(+FD)xy dx $

Adesso svolgo l'integrale curvilineo $- int_(+FD)xy dx $

Suddivido il dominio D in due domini $D_1$ e $D_2$, che sono la parte di piano compresa rispettivamente la parte di piano compresa tra la parabola e l'asse x, e la circonferenza e l'asse x.

$FD=FD_1+FD_2$

Parametrizzazione parabola: $FD_1={ ( x=t ),( y=t^2 ):}; tin [0,1]$

Parametrizzazione circonferenza: $FD_2={ ( x=sqrt(2)costheta ),( y=sqrt(2)sintheta ):}; theta in [0,Pi/4]$

$ - int_(+FD)xy dx = -int_(0)^(1) t^2sqrt(1+4t^2) dt -int_(0)^(Pi/4) sqrt2sqrt(2)costhetasqrt(2)sinthetasqrt(2sin^2theta+2cos^2theta) d theta =$

sostituisco $u=a+4t^2$ dunque $t=sqrt((u-1)/4)$ e $dt=-du*1/(2*(u-1)^(3/2)$

$ =-int_(0)^(1) (u-1)/4*sqrt((u-1)/4)*sqrtu*[-1/(2*(u-1)*sqrt((u-1)))] du -int_(0)^(pi/4)sqrt2*2sqrt2costhetasintheta d theta =$

$ =-int_0^1 -1/16sqrtudu-2sqrt2[sin^2theta/2]_0^(pi/4)= 1/16*[u^(3/2)/(3/2)]_0^1-sqrt2sqrt2/2= 1/24-1$

In attesa di chiarimenti vi porgo i miei cordiali saluti
zoso89

[dissonance]

A naso hai orientato la parabola al contrario. Controlla un po'

[zoso89-votailprof]

Era proprio uno dei dubbi più grossi che avevo: essendoci il segno meno avrei dovuto invertire gli estremi di integrazione (di entrambi gli integrali)?

In questo modo avrei: $ =-int_(1)^(0) (u-1)/4*sqrt((u-1)/4)*sqrtu*[-1/(2*(u-1)*sqrt((u-1)))] du -int_(pi/4)^(0) sqrt2*2sqrt2costhetasintheta d theta$

Sto facendo qualche castroneria oppure adesso è giusto?

In questo modo avrei come risultato $1/24+1$. Ora non c'è più il problema del risultato negativo però calcolando l'integrale doppio normalmente ottengo un risultato diverso ( $5/24$ ). Quindi sto sbagliando qualcosa e non riesco a capire cosa!!!

[dissonance]

No no no no non volevo dire niente del genere. Io vedo un problema geometrico: il dominio è orientato in senso antiorario, giusto? Quindi: il segmento da \((0,0)\) alla base della circonferenza va percorso in avanti, l'arco di circonferenza va percorso in senso antiorario e il segmento di parabola va percorso "dalla fine all'inizio". Fatti un disegno. Quindi l'integrale sull'arco di parabola deve cambiare segno rispetto a come hai fatto tu

[zoso89-votailprof]

Quindi avrei $ - int_(+FD)xy dx = -int_(1)^(0) t^2sqrt(1+4t^2) dt -int_(0)^(Pi/4) sqrt2sqrt(2)costhetasqrt(2)sinthetasqrt(2sin^2theta+2cos^2theta) d theta =$
$ = +int_(0)^(1) t^2sqrt(1+4t^2) dt -int_(0)^(Pi/4) sqrt2sqrt(2)costhetasqrt(2)sinthetasqrt(2sin^2theta+2cos^2theta) d theta $

che comunque da un numero negativo $1/24-1$

[dissonance]

Svolgi un po' quell'integrale sulla parabola. Perché ti viene così complicato? A me risulta essere uguale a
\[
\int_0^1 t^3\, dt.\]

P.S.: E anche sulla circonferenza. Scrivilo meglio, che cos'è quel casino? Semplifica un po'. E comunque, fai un po' vedere come trasformi $xydx$ in quella roba là. Sospetto che tu ti stia confondendo con gli integrali di linea dei campi vettoriali.

[zoso89-votailprof]

Tra l'altro ho pure sbagliato a scrivere qui sul forum l'integrale, infatti io ho svolto l'integrale $int_0^1 t^3sqrt(1+4t^2)dt$

Quella radice deriva dalla formula $int_gamma f(x,y) = int_a^b f(gamma(t)) ||gamma'(t)|| dt$ dove [size=85]$gamma(t)=(t,t^2)$[/size] e [size=85]$||gamma'(t)||=sqrt((f_x'(gamma(t))^2+(f_y'(gamma(t)))^2)$[/size] ma, come mi fai notare tu, magari non è questo il caso in cui si debba applicare.

Questo è l'integrale della circonferenza [size=85]${(x=sqrt2costheta),(y=sqrt2sintheta):}, thetain[0;pi/4]$[/size]: $int_(0)^(Pi/4) 4costhetasintheta d theta$ dove [size=85]$||gamma'(t)||=sqrt2$[/size] e [size=85]$|J|=sqrt2$[/size]

[dissonance]

No. Il modulo del vettore tangente qua non c'entra nulla. Quello ti serve quando devi integrare una funzione scalare:
\[
\int_\gamma f\, ds.\]
Nota che ho scritto il \(ds\), non te lo scordare, è importante. Infatti in pratica è proprio quel \(ds\), l'"elemento di lunghezza", che si trasforma in \(\| \dot\gamma(t)\|dt\). Quando invece integri una forma differenziale la regola è diversa, vattela a rivedere. Nello specifico, abbiamo
\[
xydx = \{ x= t,\, y=t^2,\, dx=dt,\, dy=2tdt\}\quad t^3\, dt.\]

[zoso89-votailprof]

Quindi sostanzialmente stavo utilizzando una formula di risoluzione dell'integrale curvilineo errata! Sbagliavo proprio nel riconoscere la funzione. io la stavo considerando erroneamente una funzione scalare ed invece dovevo utilizzare la formula per integrare una forma differenziale, cioè la seguente:

$ int_(gamma) w=int_a^b(f(x(t),y(t))*x'(t)+g(x(t),y(t))*y'(t))dt $ con $w=f(x,y)dx+g(x,y)dy$

che in questo caso diventerebbe $ int_gammaf(x,y)dx=int_a^b f(x(t),y(t))*x'(t)dt = int_0^1 t^3dt=1/4$

Ora sto dicendo cose sensate?

[zoso89-votailprof]

Quindi l'integrale della circonferenza lo dovrei risolvere in questo modo

$-int_(0)^(Pi/4) sqrt2costsqrt2sint*(-sqrt2sint)dt=+2sqrt2int_(0)^(Pi/4) sin^2tcostdt=+1/3$

Sommando i risultati dei due integrali avrei quindi $1/4+1/3=7/12$

Come è possibile che calcolando l'integrale doppio $int_0^1 dx int_0^(x^2)xydy+int_1^sqrt2 dx int_0^sqrt(2-x^2) xydy$ ottenga il valore di $5/24$? Non dovrebbero essere uguali?

[dissonance]

Certo che dovrebbero essere uguali, c'è qualche problemuccio nei conti da qualche parte. Comunque almeno il problema più grave lo abbiamo risolto.

[zoso89-votailprof]

Bene:) TI ringrazio tanto per l'aiuto!! Sei stato molto gentile, come sempre!

Saluti
zoso