Integrale doppio tra due circonferenze
Ciao a tutti, sto avendo problemi nel risolvere il seguente esercizio.
Devo calcolare l'integrale $ int int_(D)^() x/(x^2+y^2)dx dy $
con $ D={ (x,y) inR^2:(x-1)^2+(y-1)^2<=2,x^2+y^2>=4} $
Quindi, dovrei avere una circonferenza di centro l'origine e raggio 2 (seconda condizione del dominio), mentre l'altra è di centro $(1,1)$ e raggio $sqrt(2)$ (prima condizione). Corretto ?
Il mio dominio dovrebbe essere quella parte di circonferenza esterna a $x^2+y^2>=4$ e interna a $(x-1)^2+(y-1)^2<=2$, ovvero se passo in coordinate polari:
$ { ( x=1+rhocostheta ),( y=1+rhosentheta ):} $
con $ rho in [2,sqrt2] $ , $ theta in [0,2pi] $
corretto fin qui ?
L'integrale ho provato a sostituire in coordinate polari ma non riesco a risolverlo
Devo calcolare l'integrale $ int int_(D)^() x/(x^2+y^2)dx dy $
con $ D={ (x,y) inR^2:(x-1)^2+(y-1)^2<=2,x^2+y^2>=4} $
Quindi, dovrei avere una circonferenza di centro l'origine e raggio 2 (seconda condizione del dominio), mentre l'altra è di centro $(1,1)$ e raggio $sqrt(2)$ (prima condizione). Corretto ?
Il mio dominio dovrebbe essere quella parte di circonferenza esterna a $x^2+y^2>=4$ e interna a $(x-1)^2+(y-1)^2<=2$, ovvero se passo in coordinate polari:
$ { ( x=1+rhocostheta ),( y=1+rhosentheta ):} $
con $ rho in [2,sqrt2] $ , $ theta in [0,2pi] $
corretto fin qui ?
L'integrale ho provato a sostituire in coordinate polari ma non riesco a risolverlo
Risposte
dunque io farei così:
traduciamo il sistema del dominio in polari:
$D:{{: ( (rhocostheta-1)^2+(rhosentheta-1)^2<2 ),( rho^2>4 ) :}$
$D:{{: ( rho>2 ),( rho-2(costheta+sentheta)<0 ),( costheta+sentheta>0 ) :}$
a cui ho aggiunto una ulteriore disequazione altrimenti la seconda non avrebbe senso
traduciamo il sistema del dominio in polari:
$D:{{: ( (rhocostheta-1)^2+(rhosentheta-1)^2<2 ),( rho^2>4 ) :}$
$D:{{: ( rho>2 ),( rho-2(costheta+sentheta)<0 ),( costheta+sentheta>0 ) :}$
a cui ho aggiunto una ulteriore disequazione altrimenti la seconda non avrebbe senso
il sistema diventa quindi
$D:{{: ( rho>2 ),( rho<2(costheta+sentheta) ),( -pi/4
$int_(2)^(2(costheta+sentheta))int_(-pi/4)^(3/4pi)costhetadrho d theta$
$D:{{: ( rho>2 ),( rho<2(costheta+sentheta) ),( -pi/4
$int_(2)^(2(costheta+sentheta))int_(-pi/4)^(3/4pi)costhetadrho d theta$
ti torna il ragionamento? 
l'integrale risultante è semplicissimo....l'unica "difficoltà" sarà integrare $cos^2theta$ ma risolvi facilmente con le formule di duplicazione....
per il resto è un gioco da ragazzi!
l'integrale risultante è semplicissimo....l'unica "difficoltà" sarà integrare $cos^2theta$ ma risolvi facilmente con le formule di duplicazione....
per il resto è un gioco da ragazzi!
$D:{{: ( (rhocostheta-1)^2+(rhosentheta-1)^2<2 ),( rho^2<4 ) :}$
Ok, ma perché $rho^2<4$ e non $rho^2>=4$ ?
$D:{{: ( rho>2 ),( rho-2(costheta+sentheta)<0 ),( costheta+sentheta>0 ) :}$
Perché ora $rho>2$ ? Quindi $costheta+sentheta>0$ sarà in $3/4pi$ e $-pi/4$ immagino. Corretto ?
Ho provato a risolvere l'integrale e mi esce $pi$, ma il risultato non è corretto.
"Sheldor":
$D:{{: ( (rhocostheta-1)^2+(rhosentheta-1)^2<2 ),( rho^2<4 ) :}$
Ok, ma perché $rho^2<4$ e non $rho^2>=4$ ?
perché ho sbagliato a scrivere...nei passaggi ulteriori è corretto
$int_(2)^(2(costheta+sentheta))int_(-pi/4)^(3/4pi)costhetadrho d theta$
$ int_(-pi/4)^(3/4pi)[2(costheta+sentheta)-2]costheta d theta $
$ 2int_(-pi/4)^(3/4pi)[cos^2theta+senthetacostheta-costheta]d theta $
$ 2[int_(-pi/4)^(3/4pi)cos^2theta d theta+int_(-pi/4)^(3/4pi)senthetacostheta d theta-int_(-pi/4)^(3/4pi)costheta d theta] $
il primo integrale mi da $pi$, il secondo e il terzo entrambi $0$.
Il risultato non è corretto però.
$ int_(-pi/4)^(3/4pi)[2(costheta+sentheta)-2]costheta d theta $
$ 2int_(-pi/4)^(3/4pi)[cos^2theta+senthetacostheta-costheta]d theta $
$ 2[int_(-pi/4)^(3/4pi)cos^2theta d theta+int_(-pi/4)^(3/4pi)senthetacostheta d theta-int_(-pi/4)^(3/4pi)costheta d theta] $
il primo integrale mi da $pi$, il secondo e il terzo entrambi $0$.
Il risultato non è corretto però.
Non voglio fare critiche, apprezzo il tuo aiuto. Però modificare, cominciare a scrivere e lasciare a metà messaggi, scrivere messaggi multipli e ora cancellare messaggi mi sta mandando in confusione tutto. Non è meglio prendersi qualche minuto extra e poi rispondere ?
"Sheldor":
$int_(2)^(2(costheta+sentheta))int_(-pi/4)^(3/4pi)costhetadrho d theta$
$ int_(-pi/4)^(3/4pi)[2(costheta+sentheta)-2]costheta d theta $
$ 2int_(-pi/4)^(3/4pi)[cos^2theta+senthetacostheta-costheta]d theta $
$ 2[int_(-pi/4)^(3/4pi)cos^2theta d theta+int_(-pi/4)^(3/4pi)senthetacostheta d theta-int_(-pi/4)^(3/4pi)costheta d theta] $
il primo integrale mi da $pi$, il secondo e il terzo entrambi $0$.
Il risultato non è corretto però.
il secondo viene zero ma il terzo no
"Sheldor":
Non voglio fare critiche, apprezzo il tuo aiuto. Però modificare, cominciare a scrivere e lasciare a metà messaggi, scrivere messaggi multipli e ora cancellare messaggi mi sta mandando in confusione tutto. Non è meglio prendersi qualche minuto extra e poi rispondere ?
ti chiedo scusa....ho la linea che va e viene....non è che cancello per farti scherzi....
il terzo integrale viene così:
$-2int_(-pi/4)^(3/4pi)costheta d theta=-2sentheta]_(-pi/4)^(3/4pi)=-2[sqrt(2)/2+sqrt(2)/2]=-2sqrt(2)$
pensavo di impostarti solo il dominio e che poi fossi capace da solo di proseguire.....tutto qui
$-2int_(-pi/4)^(3/4pi)costheta d theta=-2sentheta]_(-pi/4)^(3/4pi)=-2[sqrt(2)/2+sqrt(2)/2]=-2sqrt(2)$
pensavo di impostarti solo il dominio e che poi fossi capace da solo di proseguire.....tutto qui
al di là del risultato mi piacerebbe sapere se hai capito il ragionamento per definire il dominio....
...stavo anche facendo altro nel frattempo....comunque ora ho ricontrollato tutto e mi sembra a posto....spero di esserti stato utile...bye
"tommik":
...stavo anche facendo altro nel frattempo....comunque ora ho ricontrollato tutto e mi sembra a posto....spero di esserti stato utile...bye
Per il dominio sei stato chiarissimo, l'unica cosa che non ho capito è la condizione che hai aggiunto. L'integrale una volta trovati gli estremi di integrazione sapevo risolverlo senza problemi.
L'unico problema è il risultato, i risultati possibili sono $2-pi/2$,$0$,$pi/2+3$,$pi/2-1$ (solo uno di questi è corretto ovviamente).
Assumendo le coordinate polari centrate nell'origine, da un rapido disegno del dominio risulta evidente che gli angoli tra cui deve variare $\theta$ sono $0$ e $\pi/2$, che sono compresi nel range di valori che tommik ha indicato come quelli che rendono sensata la disuguaglianza $\rho < 2(cos(\theta)+sin(\theta))$, essendo $\rho$ positivo.
Sempre dall'analisi del grafico (ma anche dalle disuguaglianze che avete scritto) è immediato che $\rho$ varierà tra $2$ e $2(cos(\theta)+sin(\theta))$.
Quindi, banalmente:
$ I = \int_{0}^{\pi/2} \int_{2}^{2(cos(\theta)+sin(\theta))} cos(\theta) d\rho d\theta = \pi/2-1$
Praticamente era tutto giusto tranne l'angolo, meglio quindi disegnare il dominio!
Volendo si poteva arrivare alla condizione corretta sugli angoli anche analiticamente:
\begin{equation}
\begin{cases}
\rho>2 \\
\rho<2(cos(\theta)+sin(\theta))\\
\end{cases}
\end{equation}
Adesso imponiamo le condizioni di "dominio" delle coordinate polari:
\begin{equation}
\begin{cases}
\rho>2 \\
\rho<2(cos(\theta)+sin(\theta))\\
\rho>0\\
0 \le \theta < 2\pi\\
\end{cases}
\end{equation}
Dalle prime 3 si evince facilmente che $2<2(cos(\theta)+sin(\theta))$ che comporta $0 < \theta < \pi/2$ ; dunque:
\begin{equation}
\begin{cases}
2 < \rho < 2(cos(\theta)+sin(\theta)) \\
0 \le \theta < \pi/2 \\
\end{cases}
\end{equation}
che sono esattamente gli estremi dei nostri integrali.
Sempre dall'analisi del grafico (ma anche dalle disuguaglianze che avete scritto) è immediato che $\rho$ varierà tra $2$ e $2(cos(\theta)+sin(\theta))$.
Quindi, banalmente:
$ I = \int_{0}^{\pi/2} \int_{2}^{2(cos(\theta)+sin(\theta))} cos(\theta) d\rho d\theta = \pi/2-1$
Praticamente era tutto giusto tranne l'angolo, meglio quindi disegnare il dominio!
Volendo si poteva arrivare alla condizione corretta sugli angoli anche analiticamente:
\begin{equation}
\begin{cases}
\rho>2 \\
\rho<2(cos(\theta)+sin(\theta))\\
\end{cases}
\end{equation}
Adesso imponiamo le condizioni di "dominio" delle coordinate polari:
\begin{equation}
\begin{cases}
\rho>2 \\
\rho<2(cos(\theta)+sin(\theta))\\
\rho>0\\
0 \le \theta < 2\pi\\
\end{cases}
\end{equation}
Dalle prime 3 si evince facilmente che $2<2(cos(\theta)+sin(\theta))$ che comporta $0 < \theta < \pi/2$ ; dunque:
\begin{equation}
\begin{cases}
2 < \rho < 2(cos(\theta)+sin(\theta)) \\
0 \le \theta < \pi/2 \\
\end{cases}
\end{equation}
che sono esattamente gli estremi dei nostri integrali.
Sì è vero caspita! ! Essendo $ rho> 2$ e l'integrale $int_(2)^(2(costheta+sentheta)$ avrei dovuto imporre $ costheta +sen theta > 1$
Che Erroraccio!!
Che Erroraccio!!
"Bremen000":
Dalle prime 3 si evince facilmente che $2<2(cos(\theta)+sin(\theta))$ che comporta $0 < \theta < \pi/2$ ;
Non capisco questo passaggio.
Per il resto tutto chiarissimo, ti ringrazio, integrale giusto (pure io ho avuto la svista del dominio).
Ne approfitto per chiedere solo l'impostazione di un altro poiché gli integrali con dominio di questo tipo mi stanno dando problemi:
$ int int_(D)^() y/((x-2)^3+y^2)dx dy $
$ D={ (x,y) inR^2:1<=(x-2)^2+y^2<=4,y<=0} $
sono due circonferenze centrate in $(2,0)$ e di raggi rispettivamente $1,2$. Ho seguito gli stessi passaggi dell'esercizio che abbiamo appena fatto, ma passando in polari mi blocco
Affinché la disuguaglianza abbia senso $ costheta $ e $ sintheta $ devono essere entrambi $> 0$
"tommik":
Affinché la disuguaglianza abbia senso $ costheta $ e $ sintheta $ devono essere entrambi $> 0$
Sono proprio cotto dagli esami
Per quanto riguarda l'altro integrale sai darmi qualche suggerimento ?
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