Integrale doppio su un triangolo

[mimm8]

Ciao :) devo calcolare quest'integrale:

[math]\int_{T}^{} ln(3x+2y)\ dxdy\\[/math]

con

[math]T=triangolo\ di\ vertici\ (0,0)\,\ (3,-1)\,\ (2,1)\\[/math]

ho iniziato disegnando il triangolo

[math]\ ABC\ [/math]

sul piano cartesiano, e ho calcolato l'equazioni delle rette passanti per i punti

[math]\ A\ [/math]

,

[math]\ B\ [/math]

e

[math]\ C\\[/math]

con

[math]y_{AB}=\frac{x}{2}\\[/math]

[math]y_{BC}=5x\\[/math]

[math]y_{AC}=\frac{-x}{3}\\[/math]

ho scomposto il dominio di integrazione in

[math]T_{1}=((x,y)\in\ R^{2}\:\ 0 \leq\ x\leq2,\ \frac{x}{2}\leq y \leq\frac{-x}{3})\\[/math]

e

[math]T_{2}=((x,y)\in\ R^{2}\:\ 2\leq x\leq 3,\ \ 5x\leq y\leq\frac{-x}{3})\\[/math]

scomponendo l'integrale così:

[math]\int_{0}^{2} \int_{\frac{x}{2}}^{\frac{-x}{3}} ln(3x+2y)\ dxdy\ +\ \int_{2}^{3} \int_{5x}^{\frac{-x}{3}} ln(3x+2y)\ dxdy\\[/math]

arrivato a questo punto non riesco ad andare avanti,fino qui è corretto?
grazie.

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Detto

[math]T[/math]

il triangolo di vertici

[math](0,\,0), \; (3,\,-1), \; (2,\,1)[/math]

, si nota che

[math]\small T := T_1 \cup T_2[/math]

, dove

[math]\small T_1 := \left\{(x,\,y) \in \mathbb{R}^2 : 0 \le x \le 2, \; -\frac{x}{3} \le y \le \frac{x}{2}\right\}[/math]

e

[math]\small T_2 := \left\{(x,\,y) \in \mathbb{R}^2 : 2 \le x \le 3, \; -\frac{x}{3} \le y \le -2x+5\right\}\\[/math]

.

Dunque, si ha

[math]\small \iint\limits_T \log(3x + 2y)\,dx\,dy = \int_0^2\left(\int_{-\frac{x}{3}}^{\frac{x}{2}}\log(3x + 2y)\,dy\right)dx + \int_2^3\left(\int_{-\frac{x}{3}}^{-2x+5}\log(3x + 2y)\,dy\right)dx\\[/math]

.

A te proseguire con l'integrazione per parti. ;)

[mimm8]

ecco proprio da qui nascono i problemi :cry
integrando per parti ottengo:

[math]\int_{0}^{2} \left([y\ln(3x+2y)]_{\frac{-x}{3}}^{\frac{x}{2}}-\int_{\frac{-x}{3}}^{\frac{x}{2}} {\frac{2y}{3x+2y}} dy\right)dx \\+ \int_{2}^{3} \left([y\ln(3x+2y)]_{\frac{-x}{3}}^{{-2x+5}}-\int_{\frac{-x}{3}}^{{-2x+5}} {\frac{2y}{3x+2y}} dy\right)dx[/math]

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Innanzitutto spero che tu abbia capito gli errori nella determinazione di

[math]T_1[/math]

e

[math]T_2[/math]

, soprattutto il calcolo dell'equazione di una retta passante per due punti!!
Per il resto, che dire, hai integrato bene fin lì, avanti!! :D

[davi02]

I calcoli si semplificano notevolmente mediante un cambiamento di coordinate ortogonali.

L’angolo

[math]OBC[/math]

è retto.

Sia

[math]Ouv[/math]

il riferimento ortogonale ottenuto ruotando

[math]Oxy[/math]

attorno

[math]O[/math]

, in modo che il semiasse positivo

[math]Ou[/math]

coincida con la semiretta

[math]OB[/math]

.

Il cambiamento di coordinate è

[math]x = (2u-v)/\sqrt{5}, y = (u+2v)/\sqrt{5}[/math]

con determinante jacobiano 1

[math]\ln(3x+2y) = \ln(8u+v) - \frac{1}{2}\ln5[/math]

sicché

[math]\iint\limits_T { \ln(3x+2y) \,dx\,dy} =[/math]

[math]\int\limits_0^{\sqrt{5}} \big[ \int\limits_{-u}^0 \big( \ln(8u+v) - \frac{1}{2}\ln5 \big)dv \big] du =[/math]

[math]60 \ln2 - \frac{35}{2}\ln7 - \frac{15}{4}[/math]

[mimm8]

grazie!!! così è molto più semplice :thx

un'ultima cosa, nel cambiamento di variabili hai espresso x e y in termini di u e v. Ma u e v a cosa sono uguali???

[davi02]

La trasformazione inversa è

[math] u = (2x+y)/\sqrt{5}, v = (-x+2y)/\sqrt{5}[/math]

se è questo che chiedi.
Nota che se

[math]\alpha[/math]

è l’angolo di rotazione degli assi cartesiani, allora

[math]\cos \alpha = 2/\sqrt{5}[/math]

,

[math]\sin \alpha = 1/\sqrt{5}[/math]

; da qui le formule di cambiamento di coordinate.