Integrale doppio su un dominio da sistemare

[Boxyes]

Salve ecco il mio quesito

Calcolare il valore del seguente integrale doppio sul dominio $D$

$\int int_D xy^3e^3 dxdy$

il Dominio è il seguente

$D={(x,y): 09; xy<4}$

Ok allora per calcolarlo devo rendere normale il dominio, e la cosa mi blocca un attimo, perchè: ho ben visualizzato la cosa infatti è una piccola regione del piano tutta positiva compresa tra la circonferenza di raggio tre e un ramo d'iperbole.
Ho trovato il punto d'intersezione tra i due che vale

$(\alpha,\beta)$ (non riesco a scriverlo ma non importa)

Ora come riscrivo il dominio? perchè se lo considero per $x\in [0,\alpha]$ e $x^2+y^2-9
Allora magari dovrei fare un cambio di variabile però come, avevo pensato a fare un qualcosa del tipo

${(u=x^2+y^2),(v=xy):}$

perchè avevo pensato che

$(x-y)^2=u-2v$

Ma poi come posso fare per proseguire?

[Boxyes]

Folgorato...
Se dividessi il dominio in 2 parti una per x compresa tra 0 e 1 di modo che la y sia compresa tra la circonferenza e la ratta parallela all'asse y, e l'altra parte invece sia con la x compresa tra 1 e 4 e la y compresa tra la circonferenza e l'iperbole!
Può funzionare?
L'unico problema è che devo rendere una funzione della x quella della circonferenza, ma come faccio, ci sarebbe da cambiare troppe variabili, non so come fare!

[Quinzio]

"Boxyes":
L'unico problema è che devo rendere una funzione della x quella della circonferenza, ma come faccio, ci sarebbe da cambiare troppe variabili, non so come fare!

$y = \sqrt{9-x^2}$, tutto qui.
Nessuna variabile da cambiare.

[Boxyes]

uff è vero...