Integrale doppio su un dominio D
Salve ragazzi di matematicamente! Sono praticamente afflitto da un dubbio che riguarda proprio un dominio su cui devo calcolare un intergale doppio.. il domio in questione è questo:
Sono varie le domande che mi faccio, in primis come potrei calcolare un integrale su questo dominio usando la riduzione? Dovrei dividerlo in 3 dominii normali (due all'asse x ed uno all'asse y)?
Così facendo però i risultati mi vengono uguali in modulo ma opposti in segno. (in paricolare l'ho diviso tracciando la retta x=1) Allora mi chiedo, quando ci sono domini simmetrici l'integrale basta calcolarlo da un ''solo lato'' e poi raddoppiarlo? (anche se mi sembra strano in quanto la funzione potrebbe cambiare ''altezza'')oppure è solo un caso? o sto sbagliando qualcosa?
Anche perchè i due domini normali rispetto all'asse x hanno entrambi base [0,1] ed ''altezza'' la differenza tra le due funzioni:
\( y= \sqrt{4-x^2} \) e \( y= \sqrt{1-x^2} \) , quindi quando vado a calcolare i due integrali delle porzioni simmetriche praticamente mi vengono gli stessi risultati a segni invertiti.
Scusate la lunghezza e grazie a chi troverà del tempo per questo dubbio!
Sono varie le domande che mi faccio, in primis come potrei calcolare un integrale su questo dominio usando la riduzione? Dovrei dividerlo in 3 dominii normali (due all'asse x ed uno all'asse y)?
Così facendo però i risultati mi vengono uguali in modulo ma opposti in segno. (in paricolare l'ho diviso tracciando la retta x=1) Allora mi chiedo, quando ci sono domini simmetrici l'integrale basta calcolarlo da un ''solo lato'' e poi raddoppiarlo? (anche se mi sembra strano in quanto la funzione potrebbe cambiare ''altezza'')oppure è solo un caso? o sto sbagliando qualcosa?
Anche perchè i due domini normali rispetto all'asse x hanno entrambi base [0,1] ed ''altezza'' la differenza tra le due funzioni:
\( y= \sqrt{4-x^2} \) e \( y= \sqrt{1-x^2} \) , quindi quando vado a calcolare i due integrali delle porzioni simmetriche praticamente mi vengono gli stessi risultati a segni invertiti.
Scusate la lunghezza e grazie a chi troverà del tempo per questo dubbio!
Risposte
Io lo dividerei in quattro domini normali
Non sono un esperto, ma potrebbe andare.
Fammi sapere come ti trovi
Non sono un esperto, ma potrebbe andare.
Fammi sapere come ti trovi
Ciao Ricx,
Il dominio proposto $ D := {(x,y) \in \RR^2 : 1 <= x^2 + y^2 <= 4, x >= 0} $ è simmetrico rispetto all'asse $x $, per cui se la funzione $z = f(x, y) $ è pari rispetto a $y $, cioè se $f(x, -y) = f(x, y) $, allora
$\int\int_D f(x,y) \text{d}x\text{d}y = 2 \int\int_{D^+} f(x,y) \text{d}x\text{d}y $
ove $D^+ := {(x,y) \in \RR^2 : 1 <= x^2 + y^2 <= 4, x >= 0, y >= 0} $. Se invece la funzione $z = f(x, y) $ è dispari rispetto a $y $, cioè se $f(x, -y) = - f(x, y) $, allora
$\int\int_D f(x,y) \text{d}x\text{d}y = 0 $
In generale poi dipende dalla funzione $z = f(x, y) $, ma certo con un dominio del genere la prima cosa che mi viene in mente è il passaggio alle coordinate polari.
Tutto quanto sopra premesso, se ci fai vedere qual è la tua $z = f(x, y) $ magari si riesce ad aiutarti meglio...
Il dominio proposto $ D := {(x,y) \in \RR^2 : 1 <= x^2 + y^2 <= 4, x >= 0} $ è simmetrico rispetto all'asse $x $, per cui se la funzione $z = f(x, y) $ è pari rispetto a $y $, cioè se $f(x, -y) = f(x, y) $, allora
$\int\int_D f(x,y) \text{d}x\text{d}y = 2 \int\int_{D^+} f(x,y) \text{d}x\text{d}y $
ove $D^+ := {(x,y) \in \RR^2 : 1 <= x^2 + y^2 <= 4, x >= 0, y >= 0} $. Se invece la funzione $z = f(x, y) $ è dispari rispetto a $y $, cioè se $f(x, -y) = - f(x, y) $, allora
$\int\int_D f(x,y) \text{d}x\text{d}y = 0 $
In generale poi dipende dalla funzione $z = f(x, y) $, ma certo con un dominio del genere la prima cosa che mi viene in mente è il passaggio alle coordinate polari.
Tutto quanto sopra premesso, se ci fai vedere qual è la tua $z = f(x, y) $ magari si riesce ad aiutarti meglio...
"DeltaEpsilon":
Io lo dividerei in quattro domini normali
Non sono un esperto, ma potrebbe andare.
Fammi sapere come ti trovi
Ciao! è esattamente quello che ho fatto, il problema è che calcolando l'integrale in D1 e D4 mi vengono uguali ed opposti, nel senso che rispetto a D1 le funzioni estremi dell'integrale sono le stesse che poi vado a calcolare quando faccio l'integrale rispetto D4 (solo che in D4 la circonferenza ''piccola'' è l'estremo d'integrazione superiore e quella grande quello inferiore).
"Ricx":
Ciao! è esattamente quello che ho fatto, il problema è che calcolando l'integrale in D1 e D4 mi vengono uguali ed opposti, nel senso che rispetto a D1 le funzioni estremi dell'integrale sono le stesse che poi vado a calcolare quando faccio l'integrale rispetto D4 (solo che in D4 la circonferenza ''piccola'' è l'estremo d'integrazione superiore e quella grande quello inferiore).
Non vedo dove sia il problema, tutto dipende dalla funzione integranda (che non ho capito qual è).
Probabilmente sta verificandosi che il volume sotteso dalla superficie sul dominio D1 è uguale ma opposto al volume sotteso dalla superficie sul dominio D4.
In tal caso i due integrali non daranno contributi e puoi procedere con il calcolo degli altri due (sul dominio D2 e D3)
Vista la forma del dominio, come è già stato detto da pilloeffe, la cosa più naturale è sicuramente tentare di passare a coordinate polari.
"pilloeffe":
Ciao Ricx,
Il dominio proposto $ D := {(x,y) \in \RR^2 : 1 <= x^2 + y^2 <= 4, x >= 0} $ è simmetrico rispetto all'asse $x $, per cui se la funzione $z = f(x, y) $ è pari rispetto a $y $, cioè se $f(x, -y) = f(x, y) $, allora
$\int\int_D f(x,y) \text{d}x\text{d}y = 2 \int\int_{D^+} f(x,y) \text{d}x\text{d}y $
ove $D^+ := {(x,y) \in \RR^2 : 1 <= x^2 + y^2 <= 4, x >= 0, y >= 0} $. Se invece la funzione $z = f(x, y) $ è dispari rispetto a $y $, cioè se $f(x, -y) = - f(x, y) $, allora
$\int\int_D f(x,y) \text{d}x\text{d}y = 0 $
In generale poi dipende dalla funzione $z = f(x, y) $, ma certo con un dominio del genere la prima cosa che mi viene in mente è il passaggio alle coordinate polari.
Tutto quanto sopra premesso, se ci fai vedere qual è la tua $z = f(x, y) $ magari si riesce ad aiutarti meglio...
Ciao, la funzione è \( f(x,y) = y(x^2+y^2) \) e l'esercizio mi chiede espressamente di usare la formula di riduzione
"DeltaEpsilon":
[quote="Ricx"]
Ciao! è esattamente quello che ho fatto, il problema è che calcolando l'integrale in D1 e D4 mi vengono uguali ed opposti, nel senso che rispetto a D1 le funzioni estremi dell'integrale sono le stesse che poi vado a calcolare quando faccio l'integrale rispetto D4 (solo che in D4 la circonferenza ''piccola'' è l'estremo d'integrazione superiore e quella grande quello inferiore).
Non vedo dove sia il problema, tutto dipende dalla funzione integranda (che non ho capito qual è).
Probabilmente sta verificandosi che il volume sotteso dalla superficie sul dominio D1 è uguale ma opposto al volume sotteso dalla superficie sul dominio D4.
In tal caso i due integrali non daranno contributi e puoi procedere con il calcolo degli altri due (sul dominio D2 e D3)[/quote]
Infatti il dubbio era questo, l'integrale viene nullo se il domio è simmetrico o viene doppio? o ho sbagliato a fare qualcosa? Mi sembrava difficile che venisse nullo o doppio perchè ho pensato che essendo l'integrale il volume sotteso dalla funzione in un determinato dominio, la funzione può cambiare valori da una parte del dominio all'altra non per forza ''in modo simmetrico'' da farmi venire nullo l'integrale, ma da ciò che ha detto pilloeffe sembra essere tutto in regola
Non è un mistero della fede, si può mostrare facendo i conti: se chiami \(D_1\) la parte del tuo dominio con \(y > 0 \) e \(D_2\) la parte del tuo dominio con \(y < 0 \) allora, in questo caso, hai che \(D_2 = \{ (x, -y) : (x, y) \in D_1\}\) e
\[
\int_{D_1 \cup D_2} f(x,y) = \int_{D_1} f(x,y) + \int_{D_2} f(x,y) = \int_{D_1} f(x,y) + \int_{D_1} f(x,-y).
\]
A questo punto, se \(f\) è pari in \(y\) significa che \(f(x,-y) = f(x,y)\) e quindi
\[
\int_{D_1} f(x,y) + \int_{D_1} f(x,-y) = \int_{D_1} f(x,y) + \int_{D_1} f(x,y) = 2 \int_{D_1} f(x,y)
\]
mentre se \(f\) è dispari in \(y\) significa che \(f(x,-y) = -f(x,y)\) e quindi
\[
\int_{D_1} f(x,y) + \int_{D_1} f(x,-y) = \int_{D_1} f(x,y) - \int_{D_1} f(x,y) = 0.
\]
\[
\int_{D_1 \cup D_2} f(x,y) = \int_{D_1} f(x,y) + \int_{D_2} f(x,y) = \int_{D_1} f(x,y) + \int_{D_1} f(x,-y).
\]
A questo punto, se \(f\) è pari in \(y\) significa che \(f(x,-y) = f(x,y)\) e quindi
\[
\int_{D_1} f(x,y) + \int_{D_1} f(x,-y) = \int_{D_1} f(x,y) + \int_{D_1} f(x,y) = 2 \int_{D_1} f(x,y)
\]
mentre se \(f\) è dispari in \(y\) significa che \(f(x,-y) = -f(x,y)\) e quindi
\[
\int_{D_1} f(x,y) + \int_{D_1} f(x,-y) = \int_{D_1} f(x,y) - \int_{D_1} f(x,y) = 0.
\]
Il punto è che per questo trucco ti servono, contemporaneamente, due proprietà: la simmetria del dominio rispetto a qualcosa e la parità della funzione rispetto alla stessa cosa.
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