Integrale doppio su un dominio

[marthy_92]

Ciao a tutti e auguri di Buon Anno ! Ho delle difficoltà con questo esercizio

Si calcoli l'integrale doppio

$ int int_(D)^() xy^5dx dy $

essendo D il dominio rappresentato in figura, il cui bordo è formato da due segmenti appartenenti rispettivamente
alla rette di equazine $ x = -1 $ e $ y = -1 $ , da una semicirconferenza di equazione $ x^2 + y^2 -2x=0 (x>=1 ) $ e da un arco della parabola di equazione $ y = x^2 $





Ho provato a svolgerlo in due modi. Usando la formula di Gauss Green

$ int int_(D)^() (partial f)/(partial y) dx dy = - int_(+partialD)^() f(x,y) dx $

$ int int_(D)^() xy^5dx dy = - int_(+partialD)^() (xy^6)/6 dx $

scegliendo come parametrizzazioni per la frontiera di D le seguenti

$ gamma 1{ ( x(t)=t ),( y(t)=-1 ):} , t in [-1,1] $ per la retta y = -1

$ gamma 2{ ( x(t)=t ),( y(t)=-(-t^2+2t)^(1/2) ):} , t in [1,2] $ per la semicirconferenza inferiore

$ -gamma 3{ ( x(t)=t ),( y(t)=(-t^2+2t)^(1/2) ):} , t in [1,2] $ per la semicirconferenza superiore (ho messo meno gamma 3 perchè la parametrizzazione scelta percorre la curva in senso contrario


$ -gamma 4{ ( x(t)=t ),( y(t)=t^2 ):} , t in [-1,1] $ per la parabola

$ gamma 5{ ( x(t)=-1 ),( y(t)=t ):} , t in [1,-1] $ per la retta x = -1

Quindi ho scritto l'integrale

$ -int_(+partialD)^() x*(y^6/6) dx =- [int_(-1)^(1) t/6 dt+ int_(1)^(2) t*(-t^2+2t)^3/6 dt-int_(1)^(2) t*(-t^2+2t)^3/6- int_(-1)^(1) (t/6)*(t^12) dt] $

solo che tutto viene zero ! e mi sembra alquanto strano

Allora ho provato a scrivere D come uniome di domini normali quindi

$ D1 ={(x,y)in RR^2: -1<=x<=1, -1<=y<=x^2} $

come scrivo il dominio della semicirconferenza in forma normale? chi mi aiuta? grazie

[marthy_92]

Ah quindi il risultato era corretto Non conoscevo quella propietà
Una domanda: quando vai a scrivere il dominio D2 per la semicirconferenza di equazione

$ x^2+y^2-2x=0, x >=1 $, come fai a stabilire che

$ 1<=x<=1+sqrt(1-y^2) $ . L'unica cosa che mi è venuta in mente è stato di riscrivere l'equazione della circonferenza come

$ x(x-2)=y^2 $ . Da qui come segue $ x<=1+sqrt(1-y^2) $ ?

Grazie per l'aiuto

[Frink1]

$ x^2+y^2-2x=0=> (x-1)^2+y^2=1 $ con il completamento di quadrati. Da qui dovresti riuscire ad andare avanti...

[marthy_92]

Ok grazie Frink!