Integrale doppio su figura piana

[jacktripodi2000]

Ciao a tutti ragazzi, sto riscontrando delle difficoltà nella risoluzione di questo integrale doppio. Riporto la traccia:




Ho rappresentato la figura D graficamente, ma non so su quali estremi integrare. Ho pensato che, visto che l'integrale serve per calcolare l'area sottesa dalla figura, allora dovrei svolgerlo facendo una somma di due integrali calcolati per x compreso tra 0 e 2 e y compreso tra 0 e 1, ma trattandosi di un esercizio d'esame credo che sia una soluzione troppo banale. Grazie a chi mi aiuterà.

[pilloeffe]

Ciao jacktripodi2000,

Intanto riscrivo la traccia in modo che tu possa eventualmente cancellare le immagini dell'OP, che non sono particolarmente significative né particolarmente complicate da scrivere come prescritto dalle regole del forum.

Esercizio 2. Calcolare il seguente integrale:

$\int\int_D 2x^2 + 3xy\text{d}x \text{d}y $

dove $D $ è la seguente figura piana:

$\{(0 <= y <= 1 \text{ se } 0 <= x <= 1),(0 <= y <= 2 - x \text{ se } 1 <= x <= 2):}$

"jacktripodi2000":Ho rappresentato la figura D graficamente, ma non so su quali estremi integrare.

Non mi pare particolarmente complicato, se hai disegnato $D$ ti sarai accorto che si tratta di un trapezio rettangolo nel primo quadrante ($x >= 0$, $y >= 0$) avente l'angolo retto nell'origine $O(0, 0) $, base maggiore $\bar{OA} = 2 $, altezza $h = \bar{OC} = 1 $ e base minore $\bar{CB} = 1 $.
Farei così:

$\int\int_D (2x^2 + 3xy) \text{d}x \text{d}y = \int_0^1 \int_0^1 (2x^2 + 3xy) \text{d}y \text{d}x + \int_1^2 \int_0^{2 - x} (2x^2 + 3xy) \text{d}y \text{d}x $

[jacktripodi2000]

Scusami ancora per l'immagine, so che è la seconda volta, ma da adesso userò le formule. Si avevo pensato a questa soluzione ma pensavo fosse troppo semplice, ma mi hai dato la conferma che effettivamente è corretto. Grazie davvero