Integrale doppio su dominio triangolare

[bigbang86]

Ciao a tutti, sto tentando di risolvere con miserrimo esito il seguente integrale doppio:

$int int_D (x^2+y^2)/(x+y) dxdy$

il relativo dominio D è individuato: dall'origine, dal punto (1,0) e dal punto (0,1).

Sono passato alle coordinate polari, ma mi fermo qui:

$ 1/3 int_{0}^{pi/2} 1/(cos(theta)+sin(theta)) d theta $

Per sostituzione (es: u=cos(theta)+sin(theta)) o con una divisione polinomiale eseguita all'inizio non arrivo ugualmente alla soluzione.


Grazie per l'aiuto!!

[Knuckles1]

perchè passi in coordinate polari? il dominio non è una cfr o parte di essa...

[bigbang86]

ciao, è stata una delle prove che ho fatto visto che mi sono "impantanato" ed essendoci quel genere di integranda speravo si semplificasse il tutto.

[Knuckles1]

capito... non penso che convenga passare in coordinate polari piuttosto bisogna trovare un modo per dividere le x dalle y

[Knuckles1]

hai trovato una soluzione?

[bigbang86]

ciao, purtroppo ancora no, ho provato a spezzare pensando al quadrato della somma a cui sottrarre il doppio prodotto, ma anche così ad un certo punto mi fermo...

[Knuckles1]

è un po tosto sto integrale...

[robbstark1]

Ciao. Ti conviene spezzare l'integrale in due pezzi, uno con x^2 e l'altro con y^2. A questo punto basta calcolarne uno dei due, ad esempio quello in x^2 (l'altro si vede che è uguale). Usa il cambio di variabile:
$ g(x,y)=(x,x+y)=(u,v) $
Viene fuori un integrale facilmente calcolabile; se non ho sbagliato i conti il risultato di questo integrale è 1/9.
Quindi l'integrale richiesto risulta 2/9.

[K.Lomax]

Innanzitutto ti faccio notare che l'integrale polare da te scritto è possibile risolverlo tramite le sostituzioni $cos\theta=(1-tan^2(\theta/2))/(1+tan^2(\theta/2))$ e $sin\theta=(2tan(\theta/2))/(1+tan^2(\theta/2))$. Il problema è che la trasformazione non mi sembra porti a quell'integrale. Puoi, però, procedere in coordinate cartesiane vedendo il primo integrale così:

$\int\int(x^2+y^2)/(x+y)dxdy=\int\intx+y-(2xy)/(x+y)dxdy$

nel dominio $0<=x<=1$, $0,<=y<=-x+1$.

[bigbang86]

grazie a tutti per i contributi e i suggerimenti; il metodo di robbstark mi piace, il calcolo confermo è corretto: 2/9.

ciao!