Integrale doppio su dominio polare

[bblack25]

Salve a tutti, avrei bisogno di un aiuto con questo integrale doppio: $\int\int_T (xy^2)/(x^2+y^2)^(3/2) dx dy$ dove $T$ è il domino espresso in coordinate polari $T={(r,t):0 Sinceramente non saprei come procedere avendo il dominio in coordinate polari ma penso che si debba fare un cambio di variabili..potreste aiutarmi??

[Sk_Anonymous]

Sì, credo sia ragionevole passare a coord. polari. In questo caso si ha che \[ \begin{split} \int_{T} \frac{r^3 \cos \theta \sin^2 \theta}{r^3 } r \, dr \, d \theta & = \int_{0}^{3\pi /2} \int_{0}^{\theta} r \cos \theta \sin^2 \theta \, dr \, d \theta \\ & = \int_{0}^{3 \pi/2} \frac{\theta^2}{2} \cos \theta \sin^2 \theta \, d \theta \\ & = [-\frac{\theta^2}{2} \sin^3 \theta]^{3\pi/2}_{0} + \int_{0}^{3 \pi/2} \theta \sin^3 \theta \, d \theta \ \dots \end{split} \]

Edit. Corretto refuso; ora dovrebbe essere a posto.

[bblack25]

Ah quindi bastava fare un semplice cambio da variabili...ma lo jacobiano?

[Sk_Anonymous]

Porca miseria, hai ragione. Vado a correggere.

[bblack25]

ah ok grazie..non ne ero sicuro