Integrale doppio semplice
Ciao!!Il semplice esercizio che ho provato a risolvere è il seguente:
Calcolare l'area $rho^2=4cos2theta$ (lemniscata)
Io ho agito in questo modo:
1) $rho=sqrt(4cos2theta)$ e $rho$ varia fra $0leqrholeqsqrt(4cos2theta)$ e $theta$ fra $0leqthetaleq2pi$.
2) $ int_(0)^(2pi) int_(0)^(sqrt(4cos2theta)) rho drho d theta = int_(0)^(2pi)[1/2rho^2]_(0)^(sqrt(4cos2theta))d theta =int_(0)^(2pi)2cos2theta d theta=2int_(0)^(2pi)cos2theta d theta= [sen2theta]_(0)^(2pi) $
come prima domanda vorrei chiedere se è giusto fin qua, se la risposta è affermativa avrei un altro dubbio ma preferisco postarlo in seguito per fare un passo alla volta!
Grazie
Calcolare l'area $rho^2=4cos2theta$ (lemniscata)
Io ho agito in questo modo:
1) $rho=sqrt(4cos2theta)$ e $rho$ varia fra $0leqrholeqsqrt(4cos2theta)$ e $theta$ fra $0leqthetaleq2pi$.
2) $ int_(0)^(2pi) int_(0)^(sqrt(4cos2theta)) rho drho d theta = int_(0)^(2pi)[1/2rho^2]_(0)^(sqrt(4cos2theta))d theta =int_(0)^(2pi)2cos2theta d theta=2int_(0)^(2pi)cos2theta d theta= [sen2theta]_(0)^(2pi) $
come prima domanda vorrei chiedere se è giusto fin qua, se la risposta è affermativa avrei un altro dubbio ma preferisco postarlo in seguito per fare un passo alla volta!
Grazie
Risposte
non sono sicuro di aver capito la consegna: devi calcolare l'area della figura che in coordinate polari ha le limitazioni che hai scritto, giusto? in questo caso mi pare corretto
Grazie per la risposta, l'enunciato e tale e quale a quello riportato nel post precedente ovvero: Calcolare l'area $rho^2=4cos2theta$ (lemniscata), da qui in poi ho impostato tutto io, ovvero le limitazioni le ho ricavate dalla funzione da $rho^2=4cos2theta$, ho sbagliato?
La seconda domanda riguarda la funzione che compare sotto il segno d'integrale doppio e che vado ad integrare: in questo caso era $rho$ giusto?
Potreste indicarmi o meglio mostrarmi un esempio un po piu complesso in cui non sia soltanto $rho$? Ve lo chiedo perchè nn ho molti appunti e libri su cui guardare e credo che chiedere direttamente a chi ne sa mi sia piu d'aiuto.
Grazie
La seconda domanda riguarda la funzione che compare sotto il segno d'integrale doppio e che vado ad integrare: in questo caso era $rho$ giusto?
Potreste indicarmi o meglio mostrarmi un esempio un po piu complesso in cui non sia soltanto $rho$? Ve lo chiedo perchè nn ho molti appunti e libri su cui guardare e credo che chiedere direttamente a chi ne sa mi sia piu d'aiuto.
Grazie
ah scusa, ora credo di aver capito: tu devi calcolare l'area racchiusa nella lemniscata. hai fatto le formule di green?
non so cosa siano le formule di Green 
(. Nel corso che ho seguito non c'erano quindi non credo debba utilizzarle
(. Nel corso che ho seguito non c'erano quindi non credo debba utilizzarle
allora ci devo pensare, ti faccio sapere entro stasera, comunque penso si tratti di fare un cambio di variabili.
vediamo se risponde qualcun altro, se vuoi intanto scrivi l'altro dubbio che avevi.
vediamo se risponde qualcun altro, se vuoi intanto scrivi l'altro dubbio che avevi.
ok grazie mille ma nn puo essere giusto come l ho risolto io?
ero andato in palla prima, sì va bene come l'hai risolto. per quanto riguarda la seconda domanda, se devi calcolare un'area di una figura piana espressa in coordinate polari, la funzione sotto integrale doppio sarà sempre $rho$, e questo è ovvio: se fosse espressa in coordinate cartesiane dovresti integrare 1, col cambio di coordinate devi integrare $rho$
ok grazie!! faccio una domanda che forse e scema, ma meglio farla...quando ho : $ int_(0)^(2pi) int_(0)^(sqrt(4cos2theta)) senrho*e^(senrho) drho d theta$ (ho inventato senza pensare). con $rho=2costheta$ cosa significa?ha un senso questa scrittura? cosa sto rappresentando?
Grazie
Grazie
è stato l'esercizio che hai postato sopra ad indurti a formulare questa domanda? se mi dai conferma allora ti spiego perchè quest'ultima domanda non ha senso. se invece è qualcosa di simile ad un altro esercizio, posta pure quello che vediamo.
si diciamo che e stato quell'esercizio...ma piu in generale la mia ignoranza sull'argomento
bhè, non mi sento di darti una risposta che ha valenza generale (io farei attenzione caso per caso, il ragionamento è l'unica cosa su cui possiamo sempre contare).
se cerchi una qualche analogia con l'esercizio sopra, allora ti dico subito che non ci può essere: se scrivi $rho = g(theta)$ e vuoi calcolare l'area della superficie piana confinata nella curva $g(theta)$ (espressa in coordinate polari), devi considerare i punti che hanno modulo minore di $rho$, ovvero l'integrale in $d rho$ dovrebbe essere tra 0 e $g(theta)$.
riguardo a questo non saprei che altro dirti, se preferisci aspetta qualche altro intervento.
se cerchi una qualche analogia con l'esercizio sopra, allora ti dico subito che non ci può essere: se scrivi $rho = g(theta)$ e vuoi calcolare l'area della superficie piana confinata nella curva $g(theta)$ (espressa in coordinate polari), devi considerare i punti che hanno modulo minore di $rho$, ovvero l'integrale in $d rho$ dovrebbe essere tra 0 e $g(theta)$.
riguardo a questo non saprei che altro dirti, se preferisci aspetta qualche altro intervento.
Ok va bene così...necessito di piu esercizio!!!Grazie mille ancora!
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