Integrale doppio risolto (non convinto del risultato)
Buongiorno, ho risolto questo integrale doppio ma non sono molto convinto del risultato
$intint_D((x-2)^2)dxdy$ -> $D {x^2+y^2>=1; |x|<=2; |y| <=2 }$
Ho disegnato la buona circonferenza da raggio unitario e centrata; poi ho disegnato le 2 rette risultando questo dominio che disegno qui:
[/pgn]
Il mio dominio è l'area delimitata in rosso.
Non ho fatto alcuna considerazione di simmetria, quindi ho iniziato calcolando il lato piu' a destra.
L'idea di base è fare l'integrale doppio del primo triangolo meno l'area del settore circolare formato dai 2 spicchi (da - a + pigreco quarti).
Il dominio è normale, quindi procedo con l'integrazione
$int_0^2 dx int_-x^x((x-2))^2dy$
Che mi viene palesemente 0. La cosa è giusta? Sto sbagliando qualcosa?
Rivedendo il disegno si potrebbe anche considerare tutto il settore circolare e il triangolo piu' grande. Forse è un approccio migliore?
Thank you!
$intint_D((x-2)^2)dxdy$ -> $D {x^2+y^2>=1; |x|<=2; |y| <=2 }$
Ho disegnato la buona circonferenza da raggio unitario e centrata; poi ho disegnato le 2 rette risultando questo dominio che disegno qui:
[/pgn]Il mio dominio è l'area delimitata in rosso.
Non ho fatto alcuna considerazione di simmetria, quindi ho iniziato calcolando il lato piu' a destra.
L'idea di base è fare l'integrale doppio del primo triangolo meno l'area del settore circolare formato dai 2 spicchi (da - a + pigreco quarti).
Il dominio è normale, quindi procedo con l'integrazione
$int_0^2 dx int_-x^x((x-2))^2dy$
Che mi viene palesemente 0. La cosa è giusta? Sto sbagliando qualcosa?
Rivedendo il disegno si potrebbe anche considerare tutto il settore circolare e il triangolo piu' grande. Forse è un approccio migliore?
Thank you!
Risposte
Il dominio che consideri è errato: la prima disequazione assicura che devi considerare la parte di piano esterna alla circonferenza, mentre le altre due impongono di prendere l'interno del quadrato delimitato dalle rette $x=\pm 2,\ y=\pm 2$. Quindi il dominio da considerare sarà l'interno del quadrato di centro l'origine e lato 4 meno il cerchio di centro l'origine e raggio 1.
Quindi comunque si riduce a una sottrazione di 2 integrali doppi (quadrato - circonferenza)
Dove ho sbagliato nel dominio? |x| penso di averla disegnata bene, forse è |y| che è errata?
Dove ho sbagliato nel dominio? |x| penso di averla disegnata bene, forse è |y| che è errata?
La disequazione $|x|\le 2$ equivale a $-2\le x\le 2$. Idem l'altra. Sostanzialmente le hai sbagliate entrambe! 
Ti chiedo un ultimo favore: http://www.wolframalpha.com/input/?i=abs%28x%29%3C%3D2
Usando questo sito, mi ritrovo il dominio (riguardo la X) nello stesso modo disegnato.
Con la y succede la stessa cosa; premesso che ti credo, non trovo l'errore
Usando questo sito, mi ritrovo il dominio (riguardo la X) nello stesso modo disegnato.
Con la y succede la stessa cosa; premesso che ti credo, non trovo l'errore
Il grafico che ti fornisce il wolfram alpha è quello della funzione [tex]$y=|x|-2$[/tex] e indica, in blu, la porzione dove tale funzione risulta negativa. ma quel grafico non ti serve a niente. Tu stai disegnando delle curve nel piano: le curve [tex]$x=\pm 2,\ y=\pm 2$[/tex] sono, rispettivamente, rette verticali e orizzontali, passanti per i punti [tex]$\pm 2$[/tex]
Ok grazie, ora è chiarissimo!
Alla fine viene un integrale della circonferenza, che risolverò con coordinate polari e l'integrale del quadrato.
Effettuo la sottrazione ed il gioco è fatto.
Alla fine viene un integrale della circonferenza, che risolverò con coordinate polari e l'integrale del quadrato.
Effettuo la sottrazione ed il gioco è fatto.
Esatto.
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