Integrale doppio "ostico"

[previ91]

Ciao a tutti , ho qualche problema con questo integrale :
$int int _D xsiny dxdy$ con $D={(x,y) \inR^2 : x^2 - y^2 \<= \pi^2 , x^2 \>= 2 \pi y , 0 \<= y \<= \pi}$.

Provo a descrivere a parole il dominio : abbiamo un iperbole che interseca l'asse x in $-\pi$ e $\pi$ , un parabola positiva verso l'alto e il tutto deve stare tra $0
Quindi abbiamo un dominio simmetrico rispetto all'asse y , scusate le parole povere ma sembrano due "orecchie a punta" ; qui mi pongo la prima domanda : avendo un dominio simmetrico ,l'integrale calcolato sulle due metà del dominio non dovrebbe darmi risultati uguali in modulo ma di segno opposto e quindi essere nullo ??

Grazie

[Plepp]

Ciao previ. Non può essere così a meno che l'integranda non abbia anch'essa una simmetria simile.
Riducendoci al caso unidimensionale, consideriamo $f:[a,b]\to RR$, $r\in RR$ tale che $[-r, r]\subseteq [a,b]$ (l'intervallo $[-r,r]$ è simmetrico rispetto allo $0$). Pensiamo all'integrale
\[I=\int^r_{-r} f(t)\, dt\]
Non c'è relazione tra questo integrale e
\[J=\int^r_0 f(t)\, dt\]
a meno che $f(t)$ non sia pari o dispari, ossia anch'essa simmetrica rispetto allo $0$; nel primo caso $I=2J$, nel secondo $I=0$.

Ciao!
Giuseppe