INtegrale doppio pt.1

romanovip
$int_0^(1/3sqrt(3)) y^2/(sqrt(y^2+1))dy$ mica si fa con le parametriche!??! consigli su come farlo!?

Risposte
poll89
prova ad integrare per parti, scrivendo così $ int_0^(1/3sqrt(3)) y * y/(sqrt(y^2+1))dy $ dovresti vedere bene le due funzioni.

Lo_zio_Tom
Oppure poni $ y=tanx $

romanovip
ok prendo la $f(x)=y$ è la $g^{\prime}(x)=y/(sqrt(y^2+1))$??

che regola è quella di mettere $y=tanx$ sostituzione?! perchè sotto ci sta la sua derivata dunque uscirebbe

$int tan^2x$??

Lo_zio_Tom
Vanno bene entrambi i metodi. ..uno per parti l'altro sostituzione

poll89
non so riguardo alla sostituzione, comunque se integri per parti (è giusto come hai detto tu) ottieni facilmente il risultato, al più dovrai derivare una seconda volta per parti.

Una curiosità: perchè hai scritto integrale doppio pt.1? Intanto questo sembra un normale integrale ad 1 variabile, e poi c'è anche una pt.2?

Lo_zio_Tom
No guardiax. Se fai bene i conti con la sostituzione vedrai che esce

$int tan^2x/cosx dx$

romanovip
grazie ad entrambi ho messo pt.1 perchè ho iniziato a fare le vecchie traccie di esami e credo di postare aiuto più di una volta... questo era un integrale doppio solo che l'altra metà la sapevo fare da solo e ho sbagliato a mettere il titolo

poll89
va bene, quindi hai risolto?

romanovip
uso quella per parti perchè mi sembra più semplice

dopo aver fatto per parti mi esce l'integrale

$int sqrt(y^2+1)$ qui faccio di nuovo per parti e prendo $f(x)=sqrt(y^2+1)$ mentr $g^{\prime}(x)=1$ giusto!?

poll89
Eh no, se fai per parti in quel modo torni al punto di partenza. Comunque, passo passo si fa così:

la formula dell'integrazione per parti in 1 variabile è $int f(x) g^{\prime}(x) dx = f(x) g(x) - int f^{\prime}(x) g(x) dx$
Quindi qui hai $ g^{\prime}(x)=x/(sqrt(x^2+1)) => g(x) = sqrt(x^2 + 1)$
Pertanto viene $ int x * x/(sqrt(x^2+1))dx = x sqrt(x^2 + 1) - int (sqrt(x^2+1))dx$

Quell'ultimo integrale è di quelli non troppo elementari, quindi lo trovi già risolto, ad esempio in fondo a questa tabella di integrali notevoli.

E comunque, questo stesso integrale viene studiato e risolto qui. Non mi fido molto di **** ma mi sembrava una discussione sensata.

Lo_zio_Tom
La sostituzione $ y=tanx $ è il metodo più standard per questo tipo di integrali, ma se non ti garba puoi fare così:
scacco matto in 4 mosse!

Lo_zio_Tom
1) aggiungo e tolgo 1

$ int (x^2+1-1)/(sqrt(x^2+1))dx = int (sqrt(x^2+1)) dx-int1/sqrt (x^2+1) dx=$

2) integro $ sqrt(x^2+1)$ per parti

$=xsqrt (x^2+1)-int x^2/sqrt (x^2+1) dx-int 1/sqrt (x^2+1) dx $

3) porto al primo membro $-int x^2/sqrt (x^2+1) dx$ e 4) razionalizzo opportunamente $int 1/sqrt (x^2+1) dx$, ottenendo:


$2 int x^2/sqrt (x^2+1) dx=x sqrt (x^2+1)-int 1/sqrt (x^2+1)(x+sqrt (x^2+1))/(x+sqrt (x^2+1)) dx $

$ int x^2/sqrt (x^2+1) dx=x/2sqrt(x^2+1)-1/2 int (1+x/sqrt (x^2+1))/(x+sqrt (x^2+1)) dx =$

$= x/2 sqrt (x^2+1)-1/2log|x+sqrt (x^2+1)|+C $

Fine... :wink:

Lo_zio_Tom
"poll89":


E comunque, questo stesso integrale viene studiato e risolto qui.


...con 20 passaggi e due diverse sostituzioni (di cui una trigonometrica) arrivando poi a dire di risolvere $int sec^3xdx$....che, come complessità, è quasi come l'integrale di partenza :cool:

poll89
in realtà quello è il tentativo a vuoto di uno a caso... guarda più avanti :D alla fine si riconduce ad un cosiddetto "integrale notevole" e da lì te la viaggi in allegria

Lo_zio_Tom
"poll89":
in realtà quello è il tentativo a vuoto di uno a caso... guarda più avanti :D alla fine si riconduce ad un cosiddetto "integrale notevole" e da lì te la viaggi in allegria


ecco hai detto bene: "cosiddetto" integrale notevole...in realtà dopo le superiori andrebbe calcolato quell'integrale...(secondo me)

anche perché con questo ragionamento allora tutti gli integrali che si conoscono diventano "noti"....pure questo, per me, è noto: $int sqrt(tanx) dx$

romanovip
"tommik":

2) integro $ sqrt(x^2+1)$ per parti

$=xsqrt (x^2+1)-int x^2/sqrt (x^2+1) dx-int 1/sqrt (x^2+1) dx $

integri per parti ma prendi come $f(x)=sqrt(y^2+1) $ e $g^{\prime}(x)=1$ ?? se è cosi fin qui ci sono col ragionamento.... invece qui

"tommik":



3) porto al primo membro $-int x^2/sqrt (x^2+1) dx$ e 4) razionalizzo opportunamente $int 1/sqrt (x^2+1) dx$, ottenendo:


$2 int x^2/sqrt (x^2+1) dx=x sqrt (x^2+1)-int 1/sqrt (x^2+1)(x+sqrt (x^2+1))/(x+sqrt (x^2+1)) dx $

$ int x^2/sqrt (x^2+1) dx=x/2sqrt(x^2+1)-1/2 int (1+x/sqrt (x^2+1))/(x+sqrt (x^2+1)) dx =$

$= x/2 sqrt (x^2+1)-1/2log|x+sqrt (x^2+1)|+C $

Fine... :wink:


quando razzionalizzi perchè lo fai così? $x+sqrt (x^2+1)$?? e poi non mi trovo con i calcoli

Lo_zio_Tom
L'integrazione per parti l'hai capita. L' integrale che porto al primo membro è uguale a quello da cui sei partito quindi lo puoi sommare e non devi piu cercare di risolverlo....ok?
razionalizzo così perché in questo modo il numeratore diventa la derivata del denominatore

romanovip
si io dico quando razionalizzi

Lo_zio_Tom
Razionalizzo apposta così per avere il numeratore = derivata del denominatore. Questa è una soluzione furba....se hai difficoltà devi usare la soluzione standard che ti ho già indicato. SOSTITUZIONE trigonometrica

Lo_zio_Tom
I calcoli che ho fatto sono perfetti

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