Integrale doppio: problema passaggio a coordinate polari
Ciao a tutti ! Ho dei problemi con questo esercizio.
Calcolare l'integrale doppio
\( \iint_{D}^{}\,(\arcsin^2 \sqrt{(x^2+y^2)})/ \sqrt{(x^2+y^2)} dx\, dy \)
ove $ \( D = ( ( x,y ) \in R2 : 1/4 \leq x^2 + y^2 \leq1, -x \leq y \leq\sqrt{3}/3x, y\geq 0 ) \)
Ho usato la trasformazione in coordinate polari
\( \begin{cases} x = \rho cos \vartheta \\ y= \rho sin\vartheta \end{cases} \)
Per trovare il nuovo dominio di integrazione, ho sostituito quelle espressioni di x e y in D ottenendo
\( \begin{cases} 1/4 \leq \rho^2 cos^2 + \rho^2 sin^2 \vartheta \leq1 \\ -\rho cos\vartheta \leq \rho sin\vartheta \leq \sqrt{3}/3 \rho cos\vartheta \\ \rho sin\vartheta \geq0 \end{cases} \)
che equivale a
\( \begin{cases} 1/2 \leq \rho \leq1 \\ - cos\vartheta \leq sin\vartheta \leq \sqrt{3}/3 cos\vartheta \\ sin\vartheta \geq0 \end{cases} \)
A questo punto non riesco a determinare l'intervallo in cui varia theta perchè ho difficoltà con la
seconda disequazione. Per il libro questo intervallo è \( [ \pi/6, 3\pi/4 ] \)
Mi aiutate? Grazie a chiunque risponda
Calcolare l'integrale doppio
\( \iint_{D}^{}\,(\arcsin^2 \sqrt{(x^2+y^2)})/ \sqrt{(x^2+y^2)} dx\, dy \)
ove $ \( D = ( ( x,y ) \in R2 : 1/4 \leq x^2 + y^2 \leq1, -x \leq y \leq\sqrt{3}/3x, y\geq 0 ) \)
Ho usato la trasformazione in coordinate polari
\( \begin{cases} x = \rho cos \vartheta \\ y= \rho sin\vartheta \end{cases} \)
Per trovare il nuovo dominio di integrazione, ho sostituito quelle espressioni di x e y in D ottenendo
\( \begin{cases} 1/4 \leq \rho^2 cos^2 + \rho^2 sin^2 \vartheta \leq1 \\ -\rho cos\vartheta \leq \rho sin\vartheta \leq \sqrt{3}/3 \rho cos\vartheta \\ \rho sin\vartheta \geq0 \end{cases} \)
che equivale a
\( \begin{cases} 1/2 \leq \rho \leq1 \\ - cos\vartheta \leq sin\vartheta \leq \sqrt{3}/3 cos\vartheta \\ sin\vartheta \geq0 \end{cases} \)
A questo punto non riesco a determinare l'intervallo in cui varia theta perchè ho difficoltà con la
seconda disequazione. Per il libro questo intervallo è \( [ \pi/6, 3\pi/4 ] \)
Mi aiutate? Grazie a chiunque risponda
Risposte
io ti consiglio di "vedere" graficamente il dominio di integrazione così ti rendi conto del perché quello è l'intervallo per $\theta$.
Sei sicura di aver scritto bene il testo? perché l'intervallo che risulta dal dominio che hai scritto tu $\theta\in[0,\pi/6]$
Comunque per risolvere quella disequazione risolvi le sue due disequazioni, cioè:
$-cos(\theta)\leq sen(\theta)$
$sen(\theta)\leq sqrt(3)/3cos(\theta)$
dalla prima ricavi che: $cos(\theta)\geq -sen(\theta)$ divido per $sen(\theta)>0$ perché $y>0$ allora $tan(\theta)\geq -1$ da cui si ricava che $\theta\in[0,frac{3\pi}{4}]$
adesso vediamo la seconda:
$sen(\theta)\leq frac{sqrt(3)}{3}x$ dà $tan(\theta)\leq frac{sqrt(3)}{3}$ per cui $\theta\in[0,frac{\pi}{6}]$
cercando l'intersezione delle soluzioni (dovendo soddisfare ntrambe le disequazioni) si ricava che: $\theta\in[0,frac{\pi}{6}]$.
Graficamente dovrebbe tornare
Sei sicura di aver scritto bene il testo? perché l'intervallo che risulta dal dominio che hai scritto tu $\theta\in[0,\pi/6]$
Comunque per risolvere quella disequazione risolvi le sue due disequazioni, cioè:
$-cos(\theta)\leq sen(\theta)$
$sen(\theta)\leq sqrt(3)/3cos(\theta)$
dalla prima ricavi che: $cos(\theta)\geq -sen(\theta)$ divido per $sen(\theta)>0$ perché $y>0$ allora $tan(\theta)\geq -1$ da cui si ricava che $\theta\in[0,frac{3\pi}{4}]$
adesso vediamo la seconda:
$sen(\theta)\leq frac{sqrt(3)}{3}x$ dà $tan(\theta)\leq frac{sqrt(3)}{3}$ per cui $\theta\in[0,frac{\pi}{6}]$
cercando l'intersezione delle soluzioni (dovendo soddisfare ntrambe le disequazioni) si ricava che: $\theta\in[0,frac{\pi}{6}]$.
Graficamente dovrebbe tornare
ok, grazie . ho appena controllato il testo, è corretto. Solo che nel libro è sbagliata
la figura del dominio e di conseguenza anche gli estremi in cui varia theta. Il tutto
ha complicato le cose
Il tuo intervallo ovvero \( [ 0, \pi/6] \) è corretto 
Una domanda
da \( cos \vartheta \geq - sin \vartheta \)
Prima di dividere per \( sin \vartheta \) non si dovrebbero escludere i valori per cui
\( sin \vartheta \) è 0 ? Non capisco come hai fatto a dire che y > 0 ?
Perchè y?
la figura del dominio e di conseguenza anche gli estremi in cui varia theta. Il tutto
ha complicato le cose
Il tuo intervallo ovvero \( [ 0, \pi/6] \) è corretto Una domanda
da \( cos \vartheta \geq - sin \vartheta \)
Prima di dividere per \( sin \vartheta \) non si dovrebbero escludere i valori per cui
\( sin \vartheta \) è 0 ? Non capisco come hai fatto a dire che y > 0 ?
Perchè y?
Che y>0 lo dici tu nel testo! e di conseguenza anche $sen(\theta)>0$ perché $y=r*sen(\theta)$
ma nella definizione del dominio D risulta y>=0 ...
Allora il caso y=0 lo tratti separatamente
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