Integrale doppio problema dominio

[hippo94]

Buongiorno,
ho un dubbio sul corretto svoglimento di un esercizio d'esame di Analisi 2:
Calcolare il seguente integrale doppio: $\int int _D x/y dxdy$
dove $D = { (x,y) in RR ^2 : 1<=y/x^2<=2, 1<=y/x<=2 }$

A questo punto ho solo delle idee su come procedere (il D in quella forma mi "spiazza" un po), ma vorrei sapere cosa mi consigliate di fare... GRAZIE MILLE!

[stormy1]

potrebbe essere utile un cambio di variabili $z=y/x;w=y/x^2$ che porta a $x=z/w;y=z^2/w$
in questo modo,il dominio diventa un quadrato
$A={(z,w) in mathbbR^2: 1 leq zleq 2,1leqwleq 2}$

[hippo94]

ok grazie, bella idea, quindi avrei:
${\(x=z/w), (y=z^2/w):}$
e
$ det( ( 1/w , 2z/w ),( -z/w^2 , -z^2/w^2 ) ) =(z^2)/w^3 $

poi: $(z/w)/(z^2/w) = 1/z$

ergo: $ \int int _D x/y dxdy = int_(1)^(2) (int_(1)^(2) (1/z)*(z^2)/w^3 dw ) dz = int_(1)^(2) (3z)/8 dz = 9/16 $

Portebbe essere giusto? Ma ho una domanda che potrebbe essere imbarazzante, mi sufugge come sei passato da $ z=y/x;w=y/x^2 $ a $ x=z/w; y=z^2/w $

Grazie mille!

[lobacevskij]

Se $z=y/x$, allora:

$w=y/x^2=y/x*1/x=z*1/x rArr x=z/w$

Da $z=y/x$ hai inoltre che $y=zx$. Ma abbiamo appena visto che $ x=z/w$, per cui:

$y=zx=z*z/w=z^2/w$

[hippo94]

Lapalissiano lobacevskij