Integrale doppio.. piccolo dubbio su risoluzione

[21zuclo]

Ciao a tutti, mi sto esercitando sugli integrali doppi. Non riesco a capire una cosa. Aiutatemi per favore. Grazie in anticipo.

Calcolare $ \int \int_ D (3x+y)dxdy $ ove $ D={((x),(y))\in RR^2: -1\leq 2x+y\leq 1, -1\leq x \leq 1} $

putroppo il disegno non lo so riportare su qui.. ma è un parallelogramma in verticale..

quando vado a fare il cambio di variabile, lo faccio in questo modo $ { ( u=x ),( v=2x+y ):} $

faccio $ (partial u)/(partial x)=1, (\partial u)/(\partial y)=0 $

e poi $ (partial v)/(partial x)=2, (\partial v)/(\partial y)=1 $

faccio il determinante dello jacobiano $ |det ( ( 1 , 0 ),( 2 , 1 ) )|=1 $

(ci sarebbe in questo caso da invertire lo jacobiano, ma in questo caso è sempre 1)

quindi dovute alle mie sostituzioni la funzione intengranda mi diventa con $x=u, y=v-2u$

$f(u, v-2u)=3u+v-2u=u+v$

imposto l'integrale $ \int_(-1)^(1)du (\int_(-1)^(1) (u+v)\cdot 1dv) $

che ovviamente l'integrale è nullo, per simmestria degli estremi di integrazione..

Ora c'è il mio problema vado a vedere sulla soluzione e mi si presenta questa forma

$ 1/3\int_(-1)^(1)du (\int_(-1)^(1) (u+v) dv)=0 $

Vorrei capire dove ha preso quel $1/3$, a me non è uscito da nessuna parte

[gugo82]

Probabilmente è un errore di stampa.

[Noisemaker]

Ma il calcolo e le sostituzioni sono corrette ... quindi essendo $=0$ l'integrale qualsiasi costante moltiplicativa è ininfluente....