Integrale doppio, penso di avere fatto giusto ma...
Salve a tutti! 
Devo risolvere un esercizio sul calcolo di un integrale doppio; ebbene, io l'ho svolto ma speravo che qualcuno di voi (sempre disponibili tra l'altro) potesse dare un'occhiata per controllare la soluzione (visto che non ce l'ho!)
Dunque, il testo dell'esercizio è il seguente:
Calcolare il valore I dell'integrale doppio:
$ Intint int_(T)^( ) \ 3xdx \ dy $
Ove T rappresenta l'insieme:
$ T = { in < RR^2> : x^2+y^2 > 1, x>=0, y>=0, x^2/9+y^2 <=1 } $
Orbene, disegnando questo insieme si vede che è la porzione di piano, compresa nel primo quadrante, compresa tra l'ellisse e la circonferenza.
Pensavo di potere calcolare questo integrale calcolando prima l'integrale doppio sull'ellisse, poi sulla circonferenza e sottraendo i risultati; voi cosa ne pensate?
Passiamo al calcolo dell'integrale sull'ellisse.
La parametrizzazione dell'ellisse, in coordinate polari, porta a:
$ x = 3rho*cos(theta), y = rho*sin(theta) $
Ovviamente ro varia tra 0 e 1 (per la parametrizzazione scelta), mentre teta varia tra 0 e pi/2 (siamo nel primo quadrante)
Fin qui nessun problema.
Il calcolo della matrice jacobiana porta a trovare il suo determinante uguale a $ DET = 3*rho $
Il calcolo dell'integrale risulta:
$ int_(0)^(1) 9rho^2 drho int_(0)^(pi/2) cos(theta)d(theta) $
Che, se i calcoli son giusti, risulta 3.
Per la circonferenza analoghe considerazioni, ro varierà sempre da 0 a 1, e theta sempre tra 0 e pi/2, lo jacobiano esce semplicemente ro, per cui il risultato dovrebbe essere 1.
L'integrale iniziale risulta dunque 3-1 = 2.
Tutto giusto o avete notato qualche errore?
Grazie mille!
Devo risolvere un esercizio sul calcolo di un integrale doppio; ebbene, io l'ho svolto ma speravo che qualcuno di voi (sempre disponibili tra l'altro) potesse dare un'occhiata per controllare la soluzione (visto che non ce l'ho!)
Dunque, il testo dell'esercizio è il seguente:
Calcolare il valore I dell'integrale doppio:
$ Intint int_(T)^( ) \ 3xdx \ dy $
Ove T rappresenta l'insieme:
$ T = {
Orbene, disegnando questo insieme si vede che è la porzione di piano, compresa nel primo quadrante, compresa tra l'ellisse e la circonferenza.
Pensavo di potere calcolare questo integrale calcolando prima l'integrale doppio sull'ellisse, poi sulla circonferenza e sottraendo i risultati; voi cosa ne pensate?
Passiamo al calcolo dell'integrale sull'ellisse.
La parametrizzazione dell'ellisse, in coordinate polari, porta a:
$ x = 3rho*cos(theta), y = rho*sin(theta) $
Ovviamente ro varia tra 0 e 1 (per la parametrizzazione scelta), mentre teta varia tra 0 e pi/2 (siamo nel primo quadrante)
Fin qui nessun problema.
Il calcolo della matrice jacobiana porta a trovare il suo determinante uguale a $ DET = 3*rho $
Il calcolo dell'integrale risulta:
$ int_(0)^(1) 9rho^2 drho int_(0)^(pi/2) cos(theta)d(theta) $
Che, se i calcoli son giusti, risulta 3.
Per la circonferenza analoghe considerazioni, ro varierà sempre da 0 a 1, e theta sempre tra 0 e pi/2, lo jacobiano esce semplicemente ro, per cui il risultato dovrebbe essere 1.
L'integrale iniziale risulta dunque 3-1 = 2.
Tutto giusto o avete notato qualche errore?
Grazie mille!
Risposte
Ti sei perso un $3$ nel calcolo dell'integrale dell'ellisse. Deve venire
$3x\ dx\ dy=3\cdot 3\cos\theta\cdot 3\rho\ d\rho\ d\theta$.
per il reso è tutto giusto.
$3x\ dx\ dy=3\cdot 3\cos\theta\cdot 3\rho\ d\rho\ d\theta$.
per il reso è tutto giusto.
"ciampax":
Ti sei perso un $3$ nel calcolo dell'integrale dell'ellisse. Deve venire
$3x\ dx\ dy=3\cdot 3\cos\theta\cdot 3\rho\ d\rho\ d\theta$.
per il reso è tutto giusto.
Grazie mille, ho notato!
Ho potuto confrontare oggi la soluzione, che è giusta:
$I = (3*3 - 2) = 8$
Oki.
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