Integrale doppio... passaggio alle cordinate polari

[matrix90]

salve a tutti.
ho un problema che non riesco a capire come risolvere...
dato questo integrale:
$ int int_(D) xsqrt(x^2+y^2) dx dy $ dove $ D={(x,y) in R^2 | x^2+y^2<1, x^2+y^2<2y, x<0 } $

trovo che D è:


adesso il mio problema è che non riesco a passare alle coordinate polari... come devo procedere? grazie anticipatamente!

[Camillo]

Determina le coordinate del punto di intersezione tra le due crf.
Da quello trova l'angolo corrispondente tra la retta che unisce l'origine e il punto di intersezione tra le crf con la direzione positiva dell'asse $ x $ , chiamiamo $ alpha $ questo angolo.
Passa a cordinate polari e spezza l'intervallo di integrazione in due sottointervalli :
$pi/2 <= theta <= alpha ; 0 < rho <= 1 $

$ alpha < theta <= pi ; rho <= 2sin theta $ ( questa limitazione la si trova sfruttando l'equazione della seconda crf convertita in coordinate polari.

[matrix90]

ok fin qui tutto chiaro... un ultima domanda: come faccio a trovare l' angolo $ alpha $ ???

[istochebotta]

Basta mettere a sistema le due crf
$x^2+y^2-1=0$
$x^2+y^2-2y=0$

passando in coordinate polari

$rho^2-1=0$ quindi $rho=1$
$rho^2-2rhosin(theta)$ cioè $sin(theta)=1/2$ quindi $theta =1/6pi$ e $theta =5/6pi$
visto che $x<0$ cioè $cos(theta)<0$ quindi $pi/2
la tua $alpha= 5/6pi$

[matrix90]

grazie... io quell angolo l ho trovato diversamente, non so se e giusto....
ho trovato la cordinata x del punto di intersezione delle 2 circonferenze che mi veniva $ -sqrt(3)/2 $, quindi ho fatto $ cos(-sqrt(3)/2) = alpha $ quindi $ alpha = 5/6pi $
ho proceduto in modo corretto????

[istochebotta]

si si, è corretto,
una volta che hai il sistema delle due circonferenze è indifferente se lo trovi in x e y e poi fai il cambiamento in polari o prima trasformi in polari e poi risolvi

[matrix90]

capito... se io invece ho un semicerchio di centro $ (1,0) $ e raggio $ 1 $ definito per $y>0 $ come faccio a trovare l'angolo $theta$ ???

[istochebotta]

un semicerchio di centro $(1,0)$ e raggio $1$ sarebbe $x^2+y^2<=2x$
definito $y>0$
in coordinate polari:
$rho<=2cos(theta)$ e $rho<=1$
$cos(theta)>=1/2$ quindi $-pi/3<=theta<=pi/3$
essendo $y>0$ cioè $0 allora $0 ok?

[matrix90]

ok dimenticavo l altra condizione di $ rho <1$ e quindi non riuscivo ad andare avanti! grazie mille!

[matrix90]

pero guardando il libro $ 0

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[istochebotta]

scusami...infatti ho sbagliato il $rho<=1$ questo vincolo non c'è quindi rimane
$0 $2cos(theta)>0$ cioè $-pi/2 con $y>0$ $0

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[matrix90]

ok adesso mi dovrebbe essere tutto chiaro! grazie ancora!

[antonio.ruta.184]

Ciao a tutti, so che questo post è molto vecchio ma ho un dubbio in merito a questo esercizio. Una delle due circonferenze non è centrata nell'origine, perché non abbiamo considerato questa cosa? Grazie mille