Integrale doppio particolare
ho dei dubbi sulla risoluzione di questo integrale che all'apparenza è semplice, se non avesse un dominio poco usuale
$ int int sqrt(x^2+y^2) \ dx \ dxy $
viene intuitivo utilizzare le coordinate polari
il dominio è la circonferenza di raggio 1 e centro (1,0)
se
$ {x=1+r cosT} $
$ {y=r senT} $
abbiamo
$ int int sqrt((1+rcosT)^2+(rsenT)^2) \ dx \ dxy $
a questo punto l'integrale assume una forma complicata
$ int int sqrt(x^2+y^2) \ dx \ dxy $
viene intuitivo utilizzare le coordinate polari
il dominio è la circonferenza di raggio 1 e centro (1,0)
se
$ {x=1+r cosT} $
$ {y=r senT} $
abbiamo
$ int int sqrt((1+rcosT)^2+(rsenT)^2) \ dx \ dxy $
a questo punto l'integrale assume una forma complicata
Risposte
ok mi correggo da solo...
x=r cosT con r [0,2cosT]
x=r cosT con r [0,2cosT]
"ingegnerino":
ok mi correggo da solo...
x=r cosT con r [0,2cosT]
Secondo me invece è giusta la 1° impostazione, va bene la traslazione essendo la circonferenza non centrata nell'origine; se sviluppi i due quadrati all'interno della radice quadrata, si semplifica qualcosa..
si semplifica qualcosa ma
$ int int sqrt(1+2rcosT+r^2) rdrdT $
tu come lo risolveresti?
$ int int sqrt(1+2rcosT+r^2) rdrdT $
tu come lo risolveresti?
Io comincerei a risolvere l'integrale della funzione seguente [tex]$r\sqrt{1+2ar+r^2}[/tex] dove [tex]$a=\cos t$[/tex]. Per cui scriverei l'integrale al modo seguente
[tex]$\int_0^{2\pi}\left(\int_0^1 r\sqrt{1+2ar+r^2}\ dr\right)\ dt$[/tex]
Per risolverlo puoi pensare che [tex]$r=\frac{1}{2}(2r+2a-2a)=\frac{1}{2}(2r+2a)-a$[/tex] per cui puoi scomporre l'integrale come
[tex]$\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\left(\int_0^1 (2r+2a)\sqrt{1+2ar+r^2}\ dr\right)\ dt-\int_0^{2\pi}\left(\int_0^1 a\sqrt{1+2ar+r^2}\ dr\right)\ dt$[/tex]
Nel primo integrale, la quantità tra parentesi è la derivata dell'argomento della radice, quindi viene qualcosa di semplice. Nel secondo, puoi scrivere [tex]$1+2ar+r^2=(r+a)^2+(1-a^2)$[/tex], per cui ponendo [tex]$r+a=\sqrt{1-a^2} \sinh y$[/tex] dovresti ottenere un integrale abbastanza semplice.
[tex]$\int_0^{2\pi}\left(\int_0^1 r\sqrt{1+2ar+r^2}\ dr\right)\ dt$[/tex]
Per risolverlo puoi pensare che [tex]$r=\frac{1}{2}(2r+2a-2a)=\frac{1}{2}(2r+2a)-a$[/tex] per cui puoi scomporre l'integrale come
[tex]$\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\left(\int_0^1 (2r+2a)\sqrt{1+2ar+r^2}\ dr\right)\ dt-\int_0^{2\pi}\left(\int_0^1 a\sqrt{1+2ar+r^2}\ dr\right)\ dt$[/tex]
Nel primo integrale, la quantità tra parentesi è la derivata dell'argomento della radice, quindi viene qualcosa di semplice. Nel secondo, puoi scrivere [tex]$1+2ar+r^2=(r+a)^2+(1-a^2)$[/tex], per cui ponendo [tex]$r+a=\sqrt{1-a^2} \sinh y$[/tex] dovresti ottenere un integrale abbastanza semplice.
abbiamo una visione diversa sulla semplicità di un integrale, proponi una soluzione "elegante" ma la mole di calcoli è >> rispetto a quella dell'altra risoluzioneil fatto di avere una radice moltiplicata alla derivata dell'argomento mi dice poco, fosse stato argomento/radice sarebbe diverso
forse sono io che ho poca padronanza, tentando per parti ad esempio non mi sembra vada a semplificarsi...
ti ringrazio
"ingegnerino":
:lol: abbiamo una visione diversa sulla semplicità di un integrale, proponi una soluzione "elegante" ma la mole di calcoli è >> rispetto a quella dell'altra risoluzione
il fatto di avere una radice moltiplicata alla derivata dell'argomento mi dice poco, fosse stato argomento/radice sarebbe diverso
forse sono io che ho poca padronanza, tentando per parti ad esempio non mi sembra vada a semplificarsi...
ti ringrazio
Mi sa che ti devi rileggere la teoria degli integrali indefiniti:
[tex]$\int f'(x)\sqrt{f(x)}\ dx=\sqrt{[f(x)]^3}$[/tex]
Che tu lo voglia o no, un esercizio simile, a meno di fare dei ragionamenti preliminari, richiede una certa quantità di calcoli dai quali non puoi esimerti. se ho tempo, magari dopo scrivo tutta la soluzione.
bella! hai ragione, io non conosco la tua preparazione... ma da dove potrei attingere a delle soluzioni simili?non so se esista una tabella completa di livello, o se ti è venuta in mente solo a guardarlo
bravo
per quello che riguarda la teoria, o mi sto perdendo qualche teorema, o tu hai materiale che espone un metodo che ora come ora mi è sconosciuto
(analisi I l'ho studiato anni fa...)
"ingegnerino":
:P bella! hai ragione, io non conosco la tua preparazione... ma da dove potrei attingere a delle soluzioni simili?
non so se esista una tabella completa di livello, o se ti è venuta in mente solo a guardarlo
bravo
per quello che riguarda la teoria, o mi sto perdendo qualche teorema, o tu hai materiale che espone un metodo che ora come ora mi è sconosciuto
(analisi I l'ho studiato anni fa...)
Diciamo che parto avvantaggiato: questa roba la insegno a tuoi colleghi!
In rete credo si trovi un bel po' di materiale sulle "regole" standard per il calcolo degli integrali di funzioni irrazionali, basta cercare.
noo 
diciamo che lo sospettavo... il "mi sa che ti devi rileggere..." è il classico consiglio di chi insegna...
comunque io uso una tabella che arriva a risolvermi le radici quadrate di funzioni elementarissime e non arriva oltre
poi la soluzione che ho trovato, ti assicuro che è giusta e più veloce, ho verificato il risultato misurando il volume di un solido fatto su modellazione 3d
diciamo che lo sospettavo... il "mi sa che ti devi rileggere..." è il classico consiglio di chi insegna...comunque io uso una tabella che arriva a risolvermi le radici quadrate di funzioni elementarissime e non arriva oltre
poi la soluzione che ho trovato, ti assicuro che è giusta e più veloce, ho verificato il risultato misurando il volume di un solido fatto su modellazione 3d
Ma non ho capito quale sarebbe l'altro metodo che vuoi usare. Se mi spieghi...
"ingegnerino":
ok mi correggo da solo...
x=r cosT con r [0,2cosT]
questo, integrando da -pi/2 a pi/2
che ne dice prof?
Ho capito: vuoi porre, nella sostituzione [tex]$x=r\cos t,\ y=r\sin t$[/tex]? E' possibile farlo, certo. Dal momento che il dominio è determinato da [tex]$x^2+y^2-2x\le 0$[/tex] andando a sostituire trovi [tex]$r^2-2r\cos t\le 0$[/tex]. Scegliendo [tex]$0\le t\le \frac{\pi}{2}$[/tex] e quindi restringendosi al semipiano superiore, ottieni la condizione [tex]$0\le r\le 2\cos t$[/tex], e la stessa condizione la ottieni per [tex]$-\frac{\pi}{2}\le t\le 0[/tex] (in entrambi i casi la funzione coseno risulta positiva). Puoi allora scrivere l'integrale così:
[tex]$\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(\int_{0}^{2\cos t} r\cdot r\ dr\right)\ dt$[/tex]
Certo è una strada più rapida, ma io avevo capito, da ciò che avevi scritto, che volevi risolvere l'integrale con quella funzione radice.
[tex]$\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(\int_{0}^{2\cos t} r\cdot r\ dr\right)\ dt$[/tex]
Certo è una strada più rapida, ma io avevo capito, da ciò che avevi scritto, che volevi risolvere l'integrale con quella funzione radice.
ahah no prof se ho una caratteristica tipica degli ingegneri nel sangue è proprio quella di cercare l'opzione piu semplice e conveniente
diversamente dai matematici forse ahah
quindi approvi questa strada?
diversamente dai matematici forse ahah
quindi approvi questa strada?
Certo che l'approvo! Io del resto avrei fatto così!
Io del resto avrei fatto così!
si si... ahah scherzo ma sei davvero un professore universitario?
"ingegnerino":
si si... ahah scherzo ma sei davvero un professore universitario?
Sì, perché? Ti pare tanto strano? Insegno all'Università della Basilicata, sede di Matera. Tra l'altro quell'esercizio mi ricorda tanto uno che avevo dato ad un esame un paio di appelli fa...
ok ci credo!:)
buono a sapersi
buono a sapersi
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