Integrale doppio particolare
Ragazzi, ho dei dubbi su come risolvere questo integrale doppio:
$ int int_(D)^() 1 / (x^2 + y^2)^2 dxdy $
dove D è la regione contenuta nel primo quadrante delimitata dalle curve: $ x^2 + y^2 = 1 $ , $ x^2 + y^2 = 4 $ , $ y=0 $ e $ y=1 $ .
Devo risolverlo con le coordinate polari.
Il dominio è questo:
Ho pensato di dividere il dominio in 2 parti (chiamo p il raggio e F l'angolo in radianti):
D1: { (p,F) tale che 1 < p < 2 , 0 < F < pigreca/6 }
D2: non saprei come determinarlo...
Mi aiutate?
$ int int_(D)^() 1 / (x^2 + y^2)^2 dxdy $
dove D è la regione contenuta nel primo quadrante delimitata dalle curve: $ x^2 + y^2 = 1 $ , $ x^2 + y^2 = 4 $ , $ y=0 $ e $ y=1 $ .
Devo risolverlo con le coordinate polari.
Il dominio è questo:
Ho pensato di dividere il dominio in 2 parti (chiamo p il raggio e F l'angolo in radianti):
D1: { (p,F) tale che 1 < p < 2 , 0 < F < pigreca/6 }
D2: non saprei come determinarlo...
Mi aiutate?
Risposte
Certo può essere un ottima idea, ma non è la migliore..
Secondo me senza passare in coordinate polari non avresti, in ogni caso, grossi problemi, anzi forse è meglio.
Giacchè ti interessano le coordinate polari, vediamo se riesco ad aiutarti.
Allora, il dominio è questo:
Per poter lavorare in coordinate polari devi,però, stare attento nello scindere il dominio in 2; osservando che:
[tex]D = D_{1} U D_{2}[/tex] così:
dove :
per il dominio [tex]D_{2}[/tex], passando in coordinate polari:
[tex]\rho[/tex] varia tra la circonferenza di raggio [tex]1[/tex] a quella di raggio [tex]4[/tex]: cioè [tex]1 \le \rho \le 2[/tex]
l'angolo [tex]\theta[/tex] varia da [tex]0[/tex] all'angolo che forma la retta [tex]r[/tex] con l'asse [tex]x[/tex].
per trovare questo angolo basta mettere a sistema le equazioni in ccordinate polari della circonferenza di raggio [tex]4[/tex] con la retta [tex]y=1[/tex].
cioè:
[tex]\begin{cases} \rho=2\\ \rho \cdot sen \theta = 1 \\ \end{cases}[/tex]
Cioè sostituendo [tex]\rho=2[/tex] (equazione circonferenza di raggio [tex]4[/tex]) nella seconda otteniamo:
[tex]2 \cdot sen \theta = 1 \Leftrightarrow sen \theta = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \theta = \frac {\pi}{6}[/tex]
Quindi [tex]0 \le \theta \le \frac{\pi}{6}[/tex]
Per il dominio [tex]D_{2}[/tex], stesso ragionamento:
[tex]1 \le \rho \le \frac{1}{sen \theta}[/tex] , dove [tex]\frac{1}{sen \theta}[/tex] è l'equazione in coordinate polari della retta [tex]y=1[/tex]
[tex]\theta[/tex] invece, varia dall'angolo che forma la retta [tex]r[/tex] con l'asse [tex]x[/tex], a [tex]\frac {\pi}{2}[/tex], cioè:
[tex]\frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{\pi}{2}[/tex]
___________
Quindi ricapitolando:
[tex]D_{2} = \{(\rho, \theta) \mid \ 0 \le \theta \le \frac{\pi}{6} ; 1 \le \rho \le 2\}[/tex]
[tex]D_{1} = \{(\rho, \theta) \mid \ \frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{\pi}{2} ; 1 \le \rho \le \frac{1}{sen \theta}\}[/tex]
Secondo me senza passare in coordinate polari non avresti, in ogni caso, grossi problemi, anzi forse è meglio.
Giacchè ti interessano le coordinate polari, vediamo se riesco ad aiutarti.
Allora, il dominio è questo:
Per poter lavorare in coordinate polari devi,però, stare attento nello scindere il dominio in 2; osservando che:
[tex]D = D_{1} U D_{2}[/tex] così:
dove :
per il dominio [tex]D_{2}[/tex], passando in coordinate polari:
[tex]\rho[/tex] varia tra la circonferenza di raggio [tex]1[/tex] a quella di raggio [tex]4[/tex]: cioè [tex]1 \le \rho \le 2[/tex]
l'angolo [tex]\theta[/tex] varia da [tex]0[/tex] all'angolo che forma la retta [tex]r[/tex] con l'asse [tex]x[/tex].
per trovare questo angolo basta mettere a sistema le equazioni in ccordinate polari della circonferenza di raggio [tex]4[/tex] con la retta [tex]y=1[/tex].
cioè:
[tex]\begin{cases} \rho=2\\ \rho \cdot sen \theta = 1 \\ \end{cases}[/tex]
Cioè sostituendo [tex]\rho=2[/tex] (equazione circonferenza di raggio [tex]4[/tex]) nella seconda otteniamo:
[tex]2 \cdot sen \theta = 1 \Leftrightarrow sen \theta = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \theta = \frac {\pi}{6}[/tex]
Quindi [tex]0 \le \theta \le \frac{\pi}{6}[/tex]
Per il dominio [tex]D_{2}[/tex], stesso ragionamento:
[tex]1 \le \rho \le \frac{1}{sen \theta}[/tex] , dove [tex]\frac{1}{sen \theta}[/tex] è l'equazione in coordinate polari della retta [tex]y=1[/tex]
[tex]\theta[/tex] invece, varia dall'angolo che forma la retta [tex]r[/tex] con l'asse [tex]x[/tex], a [tex]\frac {\pi}{2}[/tex], cioè:
[tex]\frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{\pi}{2}[/tex]
___________
Quindi ricapitolando:
[tex]D_{2} = \{(\rho, \theta) \mid \ 0 \le \theta \le \frac{\pi}{6} ; 1 \le \rho \le 2\}[/tex]
[tex]D_{1} = \{(\rho, \theta) \mid \ \frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{\pi}{2} ; 1 \le \rho \le \frac{1}{sen \theta}\}[/tex]
Non ho capito molto bene ciò che hai detto... D2 mi sa che l'hai sbagliato perchè non è quello che hai disegnato tu...
sisi hai ragione, ora correggo.
E' solo che usando paint, ho fatto un macello a disegnare
EDIT:
Corretto...
Devi scusarmi,
però all'inizio avevo intenzione di spiegarti come fare l'integrale in altra maniera e quindi avevo scisso diversamente i domini.
Poi senza pensarci ho deciso di spiegare in coord polari, come avevi chiesto, e ho dimenticato di cambiare l'immagine !
Ti è chiaro ora il ragionamento?
E' solo che usando paint, ho fatto un macello a disegnare
EDIT:
Corretto
...Devi scusarmi,
però all'inizio avevo intenzione di spiegarti come fare l'integrale in altra maniera e quindi avevo scisso diversamente i domini.
Poi senza pensarci ho deciso di spiegare in coord polari, come avevi chiesto, e ho dimenticato di cambiare l'immagine !
Ti è chiaro ora il ragionamento?
Non mi è chiaro solo perchè per il dominio D1 hai scritto 1
Grazie comunque!
Grazie comunque!
Si tratta della retta [tex]y=1[/tex], scritta in coordinate polari.
Per trasformare una qualunque equazione cartesiana in coordinate polari devi porre:
[tex]\begin{cases} x=\rho \cdot cos \theta\\ y = \rho \cdot sen \theta \\ \end{cases}[/tex]
cioè al posto della [tex]x[/tex] devi mettere [tex]\rho \cdot cos \theta[/tex], al posto della [tex]y[/tex] devi mettere [tex]\rho \cdot sen \theta[/tex].
Nel caso della retta [tex]y=1[/tex], abbiamo solo la [tex]y[/tex]; bene, al posto di essa mettiamo [tex]\rho \cdot sen \theta[/tex], otteniamo:
[tex]\rho \cdot sen \theta = 1 \Leftrightarrow \rho = \frac {1}{sen \theta}[/tex]
Questa è l'equazione, in coordinate polari della retta.
_________
ps. ti faccio notare che nel caso di una circonferenza, ad esempio: [tex]x^2+y^2=1[/tex]
Passando in coordinate polari:
[tex](\rho \cdot cos \theta)^2+(\rho \cdot sen \theta)^2=1 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\rho^2 cos^2 \theta+\rho^2 sen^2 \theta=1[/tex];
metto in evidenza [tex]\rho^2[/tex]:
[tex]\rho^2 \cdot (cos^2 \theta+ sen^2 \theta)=1 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\rho^2 =1 \Leftrightarrow \rho = 1[/tex]* equazione circonferenza di raggio [tex]1[/tex].
*NB [tex]\rho[/tex] deve essere positivo ecco perché non ho considerato [tex]\rho = -1[/tex]
Tutto chiaro?
Per trasformare una qualunque equazione cartesiana in coordinate polari devi porre:
[tex]\begin{cases} x=\rho \cdot cos \theta\\ y = \rho \cdot sen \theta \\ \end{cases}[/tex]
cioè al posto della [tex]x[/tex] devi mettere [tex]\rho \cdot cos \theta[/tex], al posto della [tex]y[/tex] devi mettere [tex]\rho \cdot sen \theta[/tex].
Nel caso della retta [tex]y=1[/tex], abbiamo solo la [tex]y[/tex]; bene, al posto di essa mettiamo [tex]\rho \cdot sen \theta[/tex], otteniamo:
[tex]\rho \cdot sen \theta = 1 \Leftrightarrow \rho = \frac {1}{sen \theta}[/tex]
Questa è l'equazione, in coordinate polari della retta.
_________
ps. ti faccio notare che nel caso di una circonferenza, ad esempio: [tex]x^2+y^2=1[/tex]
Passando in coordinate polari:
[tex](\rho \cdot cos \theta)^2+(\rho \cdot sen \theta)^2=1 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\rho^2 cos^2 \theta+\rho^2 sen^2 \theta=1[/tex];
metto in evidenza [tex]\rho^2[/tex]:
[tex]\rho^2 \cdot (cos^2 \theta+ sen^2 \theta)=1 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\rho^2 =1 \Leftrightarrow \rho = 1[/tex]* equazione circonferenza di raggio [tex]1[/tex].
*NB [tex]\rho[/tex] deve essere positivo ecco perché non ho considerato [tex]\rho = -1[/tex]
Tutto chiaro?
Chiarissimo al 100%, grazie infinite!
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