Integrale doppio.. ma complicato..

[dustofstar]

mi sto arrabbiando su un integrale doppio. Non riesco ad andare avanti.. mi date una mano?

$int_{x}^-50h(z)dz int_{-80}^z psi(u)du$ dove $psi(x)=$=$\{(1/(2 epsilon) , y-epsilon

l'intervallo in cui prendere la $x$ è $-80
risolvendo mi sn trovata $1/(2epsilon)int_{max(x,y-epsilon)}^(y+epsilon) h(z)(z-(y-epsilon))$

ora.. per provare se mi trovavo ho considerato che se $epsilon=0$ allora $psi(x)=delta(x-y)$ considerando la delta di Dirac.

Se io considerassi la delta di dirac l'integrale mi diventerebbe $int_{max(x,y)}^-50 h(z)dz$ ma se invece pongo $epsilon=0$ nel risultasto che ho trovato non avrei la stessa cosa.. quindi vuol dire che nn l'ho svolto bene..
vi prego aiutatemi..
sono da giorni ferma sulla stessa cosa e non riesco ad andare avanti.

[Lord K]

Chiariamo! Se ho capito bene ho che ci interessa calcolare:

$\int_x^(-50) h(z)*\int_(-80)^z psi(u)dudz$

Con:

$psi: (-80,-50) rightarrow {1/(2epsilon), 0}$

da osservarsi che:

$psi(x,y_0) = {(1/(2epsilon) text{ |x-y_0|<}epsilon),(0 text{ altrimenti}):}$

L'integrale più interno risulta dipendente da dove si trova $z$ rispetto a $y_0$, quindi:

1° CASO $z < y_0-epsilon$:

$\int_(-80)^z psi(u)du = 0$

E quindi:

$\int_x^(-50) h(z)*\int_(-80)^z psi(u)dudz = 0$

2° CASO $y_0 - epsilon < z < y_0+epsilon$:

$\int_(-80)^z psi(u)du = \int_(-80)^(y_0-epsilon) psi(u)du + \int_(y_0-epsilon)^z psi(u)du = \int_(y_0-epsilon)^z psi(u)du = 1/(2epsilon)*(z-y_0+epsilon)$

E quindi:

$\int_x^(-50) h(z)*\int_(-80)^z psi(u)dudz = 1/(2epsilon)*\int_x^(-50) h(z)*(z-y_0+epsilon) dz$

3° CASO $y_0 + epsilon < z$:

$\int_(-80)^z psi(u)du = \int_(-80)^(y_0-epsilon) psi(u)du + \int_(y_0-epsilon)^(y_0+epsilon) psi(u)du + \int_(y_0+epsilon)^z psi(u)du = 1$

E quindi:

$\int_x^(-50) h(z)*\int_(-80)^z psi(u)dudz = \int_x^(-50) h(z)dz$

E' di tuo aiuto tutto questo?

[dustofstar]

innanzitutto grazie mille per la risposta.. poi..
z non dipende anche dagli estremi di integrazione del primo integrale?

io avevo ragionato ad esempio in questo modo:

$x $int_{x}^(-50)h(z)dzint_{-80}^{z}psi(u)du=int_{x}^(-50)h(z)dzint_{y_0-epsilon}^(min(z,y_0+epsilon))1/(2epsilon)du$

in quanto ho pensato che u deve variare tra -80 e z, ma z varia tra x e -50, quindi quando $x
è sbagliato il mio ragionamento??

poi:
uhm.. non c'è un modo per metterli tutti sotto la stessa forma? ad esempio..
valutando il caso $psi(u)= delta(x-y_0)$

ho $x se invece $y_0 e quindi posso porli sotto l'unica forma $int_{x}^(-50)h(z)int_{-80}^{z}psi(u)du=int_{max(y_0,x)}^-50h(z)dz$