Integrale Doppio (la mia rovina)
ciao ragazzi...
ripongo la mia fiducia in voi... ho un integrale doppio veramente tosto... che è stata la mia rovina...
ecco qua il testo:
Sia $D = {(x,y) in RR^2 | 2<=y,x^2+(y-2)^2<=4}$ calcolare l'integrale doppio $int int (x+1)(y-2)^2 dx dy$
Allora il disegno sono riuscito a farlo...
Poi so che devo fare due cambi di variabili... prima in u e v per spostare il cerchio nel centro e poi devo fare il cambio di variabili in coordinate polari...
Il mio problema è che mi servirebbe l'intero procedimento e anche il risultato finale poichè non saprei come avere un risultato giusto e soprattutto sicuro! Questo esercizio mi sarà chiesto in sede di esame....
(ho un po' di problemini con i cambi di variabili in u e v)
Se ho sbagliato a digitare la formula posso scannerizzare il testo....
Aiutatemi per favore.... siete la mia unica speranza!
Grazie mille
ripongo la mia fiducia in voi... ho un integrale doppio veramente tosto... che è stata la mia rovina...
ecco qua il testo:
Sia $D = {(x,y) in RR^2 | 2<=y,x^2+(y-2)^2<=4}$ calcolare l'integrale doppio $int int (x+1)(y-2)^2 dx dy$
Allora il disegno sono riuscito a farlo...
Poi so che devo fare due cambi di variabili... prima in u e v per spostare il cerchio nel centro e poi devo fare il cambio di variabili in coordinate polari...
Il mio problema è che mi servirebbe l'intero procedimento e anche il risultato finale poichè non saprei come avere un risultato giusto e soprattutto sicuro! Questo esercizio mi sarà chiesto in sede di esame....
(ho un po' di problemini con i cambi di variabili in u e v)
Se ho sbagliato a digitare la formula posso scannerizzare il testo....
Aiutatemi per favore.... siete la mia unica speranza!
Grazie mille
Risposte
Poni $x = \rho \cos(\theta)$, $(y-2) = \rho \sin(\theta)$. La limitazione su $\rho$ è $\rho \in [0, 2]$, si nota sostituendo i valori di $x$ e $y$ in funzione di $\rho$ e $\theta$ nella relazione $x^2 + (y-2)^2 \le 4$. Per trovare la limitazione su $\theta$ ti basta sostituire il valore di $y-2$ nella relazione $y - 2 \ge 0$, cioè $\rho \sin(\theta) \ge 0$, che equivale a $\theta \in [0, \pi]$. Tenendo conto che $dx dy = \rho d \rho d \theta$ fai le dovute sostituzioni nell'integrale e hai fatto.
scusa ma avevo provato a farlo in questo modo e purtroppo non è andata bene...
deve essere fatto con due cambi di variabili....
sto esercizio non lo posso più vedere
ti ringrazio lo stesso!
deve essere fatto con due cambi di variabili....
sto esercizio non lo posso più vedere
ti ringrazio lo stesso!
Perché non è andata bene? Non capisco dove trovi difficiotà...
Evidentemente il calcolo deve essere fatto con due cambi di variabili perche'
così e' stato imposto ( anche se questa cosa appare eccessiva).
Allora operiamo il primo cambio :
${(x=u),(y=v+2):}$
Lo jacobiano di questa trasformazione e':
$(del(x,y))/(del(u,v))=det(((delx)/(delu),(delx)/(delv)),((dely)/(delu),(dely)/(delv)))=det((1,0),(0,1))=1$
Il dominio D diventa:
$D_1={(u,v) in R^2| {v>=0,u^2+v^2<=4}}$ e l'integrale trasformato e':
$L=intint _(D_1)v^2(u+1)dudv$
Operiamo ora il secondo cambio:
$u=rhocostheta,v=rhosintheta$ :
In questo caso ,come e' ben noto ,lo jacobiano e' $rho$ ed il dominio diventa:
$D_2={(rho,theta) |rhosintheta>=0,rho^2<=4}$ ovvero ( come del resto gia' indicato da Tipper):
$D_2={(rho,theta)|{0<=rho<=2,0<=theta<=pi}}$ e l'integrale e':
$L=int_0^(pi)sin^2theta d theta int_0^2(rho^3costheta+rho^2)rho d rho$
Sviluppando i facili calcoli :
$L=int_0^(pi) sin^2theta |(rho^5)/5costheta+(rho^4)/4|_0^2d theta=(32)/5 int_0^(pi)sin^2theta d(sin theta)+4int_0^(pi)sin^2theta d theta =2pi$
Nell'ultimo calcolo ho tenuto conto che $sin^2 theta= (1-cos 2 theta)/2$
così e' stato imposto ( anche se questa cosa appare eccessiva).
Allora operiamo il primo cambio :
${(x=u),(y=v+2):}$
Lo jacobiano di questa trasformazione e':
$(del(x,y))/(del(u,v))=det(((delx)/(delu),(delx)/(delv)),((dely)/(delu),(dely)/(delv)))=det((1,0),(0,1))=1$
Il dominio D diventa:
$D_1={(u,v) in R^2| {v>=0,u^2+v^2<=4}}$ e l'integrale trasformato e':
$L=intint _(D_1)v^2(u+1)dudv$
Operiamo ora il secondo cambio:
$u=rhocostheta,v=rhosintheta$ :
In questo caso ,come e' ben noto ,lo jacobiano e' $rho$ ed il dominio diventa:
$D_2={(rho,theta) |rhosintheta>=0,rho^2<=4}$ ovvero ( come del resto gia' indicato da Tipper):
$D_2={(rho,theta)|{0<=rho<=2,0<=theta<=pi}}$ e l'integrale e':
$L=int_0^(pi)sin^2theta d theta int_0^2(rho^3costheta+rho^2)rho d rho$
Sviluppando i facili calcoli :
$L=int_0^(pi) sin^2theta |(rho^5)/5costheta+(rho^4)/4|_0^2d theta=(32)/5 int_0^(pi)sin^2theta d(sin theta)+4int_0^(pi)sin^2theta d theta =2pi$
Nell'ultimo calcolo ho tenuto conto che $sin^2 theta= (1-cos 2 theta)/2$
mitico! ecco la mia difficoltà era quella di formalizzare sempre i nuovi domini D1 e D2 e riscrivere ogni volta l'argomento dell'integrale. ora mi sorge solo un dubbio...
rifacendo l'esercizio... integrando prima la parte theta e poi la parte rho mi sono bloccato ad un certo punto...
lo ammetto i calcoli non sono il mio forte, come del resto non lo è la matematica
. spero di non essere un blasfemo
$L=int_0^2 rho drho int_0^(pi) sen^2(theta) d theta = int_0^2(rho^4 costheta + rho^3) | theta/2 - 1/2senthetacostheta|_0^(pi) = (pi)/2 int_0^2 (rho^4 costheta + rho^3) drho = (pi)/2 (|costheta (rho^5)/5|_0^2 + |(rho^4)/4|_0^2)= (pi)/2 (costheta 32/5 + 4)$
mi blocco qua.... cioè non mi quadra qualcosa nel trattare il costheta 32/5....
ripeto: spero di non essere blasfemo
rifacendo l'esercizio... integrando prima la parte theta e poi la parte rho mi sono bloccato ad un certo punto...
lo ammetto i calcoli non sono il mio forte, come del resto non lo è la matematica
. spero di non essere un blasfemo$L=int_0^2 rho drho int_0^(pi) sen^2(theta) d theta = int_0^2(rho^4 costheta + rho^3) | theta/2 - 1/2senthetacostheta|_0^(pi) = (pi)/2 int_0^2 (rho^4 costheta + rho^3) drho = (pi)/2 (|costheta (rho^5)/5|_0^2 + |(rho^4)/4|_0^2)= (pi)/2 (costheta 32/5 + 4)$
mi blocco qua.... cioè non mi quadra qualcosa nel trattare il costheta 32/5....
ripeto: spero di non essere blasfemo
Non capisco molto dei tuoi passsaggi ,quindi li rifaccio operando prima su teta e poi su ro.
Eccoli in successione:
$L=int_0^2rho d rho int_0^(pi) [rho^3sin^2 theta cos theta+rho^2 sin^2theta]d theta$
$L=int_0^2rho d rho[int_0^(pi)rho^3sin^2theta d(sintheta) ]+int_0^2rho d rho[ int_0^(pi)rho^2*(1-cos2theta)/2d theta]$
$L=int_0^2rho d rho |rho^3(sin^3theta)/3|_0^(pi)+int_0^2 rho^3 d rho*1/2|theta-(sin2theta)/2|_0^(pi)$
$L=int_0^2rhod rho|0-0|+int_0^2 rho^3d rho*|(pi)/2-0|$
$L=(pi)/2|(rho^4)/4|_0^2=(pi)/2*(16)/4=2pi$
Eccoli in successione:
$L=int_0^2rho d rho int_0^(pi) [rho^3sin^2 theta cos theta+rho^2 sin^2theta]d theta$
$L=int_0^2rho d rho[int_0^(pi)rho^3sin^2theta d(sintheta) ]+int_0^2rho d rho[ int_0^(pi)rho^2*(1-cos2theta)/2d theta]$
$L=int_0^2rho d rho |rho^3(sin^3theta)/3|_0^(pi)+int_0^2 rho^3 d rho*1/2|theta-(sin2theta)/2|_0^(pi)$
$L=int_0^2rhod rho|0-0|+int_0^2 rho^3d rho*|(pi)/2-0|$
$L=(pi)/2|(rho^4)/4|_0^2=(pi)/2*(16)/4=2pi$
grande licio.... grazie mille...
alla fine non capivo cos'era d(sentheta)!!! ora ho capito...
grazie ancora... e vi faro sapere come andra l'esame....
alla fine non capivo cos'era d(sentheta)!!! ora ho capito...
grazie ancora... e vi faro sapere come andra l'esame....
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