Integrale doppio $ intint_Dy/[sqrt(|x|)(x^2+y^2)]dxdy $

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Ciao a tutti,
ho provato a risolvere questo integrale, ma non sono sicura ne della soluzione, né del procedimento... e forse neanche del dominio!

Bando alle ciance, l'integrale é questo:
$ intint_Dy/[sqrt(|x|)(x^2+y^2)]dxdy $ e il dominio é $ D={ ((x,y)in R^2 | 1<=x^2+y^2<=4) ,(x<=y<=0):} $ .

Ho visto prima il dominio e mi sembrerebbe una parte della corona circolare creata dalle circonferenze di raggi 1 e 2, la parte é praticamente lo spicchio dell'angolo $ pi<=theta<=5/4pi $ , in questa parte la x é negativa, quindi io ho tolto il valore assoluto all'interno dell'integrale e ho lasciato $ sqrt (-x) $ .

A questo punto ho proceduto per coordinate polari $ { (x=rho costheta) ,(y= rhosentheta) ,(dxdy=rhosenthetacostheta):} $

con qualche passaggio arrivo a $ int_1^2(drho)/sqrt(rho)int_(pi)^(5/4pi)(sentheta)/sqrt(-costheta)d(theta) $ = $ 4(1-1/2^(1/4))(sqrt(2)-1) $ .

Mi chiedo se il procedimento ha un senso e il dominio è corretto!
Grazie mille!

[coffee2]

Il ragionamento che fai è corretto (penso che intendessi dire $dxdy=\rhod\rhod\theta$), ricontrolla gli integrali in $\rho$ e $\theta$ perché da qualche parte si è perso un segno meno

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ricontrollato $ 4[2^(-1/4)-1](sqrt(2)-1) $ ! quindi a questo punto dovrebbe essere giusto!
Aldila del segno, mi interessa che il dominio e il procedimento siano giusti!
grazie mille!!!!