Integrale doppio in polari e non

[gueridon]

BUongiorno ragazzi.

Svolgendo questo integrale arrivo a due risultati diversi, e non capisco dove risieda il mio errore

Calcolare l’integrale doppio $∫ A xdxdy$, $A = { ( x,y ) ∣∣ x ≥ 0 , x^2 + y^2 ≤ 4 , x^2 + ( y − 1)^2 ≥ 1 }$

Essendo due circonferenze una dentro l'altra ho pensato di poterla svolgere sia come x-semplice che come polari.
Metodo 1)
$∫_A xdxdy = int_{-2}^{0} (int_{0}^{\sqrt(4-y^2)} x dx)dy)+int_{0}^{2} (int_{\sqrt(1-(y-1)^2)}^{\sqrt(4-y^2)} x dx)dy)$
e svolgendo i calcoli viene $14/3$
Metodo 2)
Ho pensato con le polari e trovo:
essendo

$x^2 + ( y − 1)^2 ≥ 1$
$r^2cos^2\theta+r^2sin^2\theta+1-2rsin\theta ≥ 1$ cioè $2sin\theta<=r<=2$
e l'angolo $-\Pi/2<=\theta<=\Pi/2$ e all'interno dell'integrale avrei quindi essendo x la funzione : $r*rsin$ con r suo jacobiano del cambio variabili.
E in questo caso esce $16/3$

Potreste aiutarmi che questo errore non lo vedo proprio?

[Lo_zio_Tom]

E' un bel po' di tempo che non faccio più queste cose ma mi sembra che l'integrazione in polari sia errata

${{: ( x>0 ),( x^2+y^2<4 ),( x^2+(y-1)^2>1 ) :}rarr{{: ( costheta>0 ),( rho<2 ),( rho-2sentheta>0 ) :}$

e fin qui ok

Ma devi considerare che l'intervallo dell'angolo $-pi/2
${{: ( -pi/2
${{: ( 0
e ciò in quanto nel primo intervallo $rho-2sentheta>0 AAtheta$

[gueridon]

Grazie mille per la correzione.
Credo il mio errore concettuale fosse proprio lì, il punto è che mi dicevo: essendo θ minori di zero (per l'arco che copre i radianti da 0 a -pi/2) mi restituirà un 2senθ sicuramente negativo. Quindi dato che rho è sempre positivo, nessun problema, gli do solo dei valori (molto inferiori) che non assumerà.
Vorrei capire il vizio nel mio ragionamento, ti ringrazio