Integrale doppio in dominio "rombo"
Ciao ragazzi, ieri ho fatto la prova scritta di analisi 2 e c'era questo integrale doppio $int int_T (xy-y) dx dy $ nel seguente dominio:
$ T={(x,y) \in RR^2: 1<=|x|+|y|<=2 }$
Vi dico come l'ho svolto per capire se va bene il ragionamento che ho fatto, e farmi un'idea sulla correttezza o meno dell'esercizio.
Scomponendo i valori assoluti avremo 4 casi, e il disegno del dominio dovrebbe essere questo:
E' giusto procedere spezzando il dominio T in 4 domini, corrispondenti ai pezzi del rombo nei quattro quadranti ?
Per esempio nel primo quadrante: $T_1={(x,y) \in RR^2: 0<=x<=2, -x+1<=y<=-x+2}$
ovvero la x che varia tra 0 e 2, e la y che varia tra la retta inferiore $y=-x+1$ e quella superiore $y=-x+2$.
Scrivo anche i domini per gli altri 3 quadranti nello stesso modo, e poi l'integrale totale sarà dato dalla somma dei 4 integrali.
Può andare come ragionamento ?
Oppure essendo il dominio bastava risolvere solamente un integrale ad esempio in $T_1$ e moltiplicare per 4 !?
$ T={(x,y) \in RR^2: 1<=|x|+|y|<=2 }$
Vi dico come l'ho svolto per capire se va bene il ragionamento che ho fatto, e farmi un'idea sulla correttezza o meno dell'esercizio.
Scomponendo i valori assoluti avremo 4 casi, e il disegno del dominio dovrebbe essere questo:
E' giusto procedere spezzando il dominio T in 4 domini, corrispondenti ai pezzi del rombo nei quattro quadranti ?
Per esempio nel primo quadrante: $T_1={(x,y) \in RR^2: 0<=x<=2, -x+1<=y<=-x+2}$
ovvero la x che varia tra 0 e 2, e la y che varia tra la retta inferiore $y=-x+1$ e quella superiore $y=-x+2$.
Scrivo anche i domini per gli altri 3 quadranti nello stesso modo, e poi l'integrale totale sarà dato dalla somma dei 4 integrali.
Può andare come ragionamento ?
Oppure essendo il dominio bastava risolvere solamente un integrale ad esempio in $T_1$ e moltiplicare per 4 !?
Risposte
Io stavo pensando che $f(x,y) = y(x-1)$, quindi c'é una simmetria da poter sfruttare, ovvero $$f(x,y) = -f(x, -y) \quad \forall x $$
Da qui comincio seriamente a pensare che l'integrale possa fare zero, perché il dominio é simmetrico rispetto a $y$. Non sono sicuro, in ogni caso io dividerei il dominio nella parte $y > 0$ e $y \leq 0$.
Da qui comincio seriamente a pensare che l'integrale possa fare zero, perché il dominio é simmetrico rispetto a $y$. Non sono sicuro, in ogni caso io dividerei il dominio nella parte $y > 0$ e $y \leq 0$.
"bassi0902":
io dividerei il dominio nella parte $y > 0$ e $y \leq 0$.
Si ma bisogna dividerlo ulteriormente nella parte $x>=0$ e $x<0$, sennò come lo risolvi ?
Ma spezzandolo in quattro pezzi come ho detto io non si può ?
Sí certo si puó fare dividendo in quattro ma sono abbastanza convinto che venga zero, di sicuro non basta svolgere l'integrale nel primo quadrante e moltiplicare per 4 perché la funzione non é uguale in ogni quadrante.
"bassi0902":
Sí certo si puó fare dividendo in quattro ma sono abbastanza convinto che venga zero, di sicuro non basta svolgere l'integrale nel primo quadrante e moltiplicare per 4 perché la funzione non é uguale in ogni quadrante.
Esatto, infatti io nel compito ho svolto tutti gli integrali e poi ne ho fatta la somma, che mi è venuta diversa da zero, ma sono convinto che avendo fatto di fretta ho sbagliato qualche segno o calcolo, perché anche io penso sia zero.
"angelointi94":
[quote="bassi0902"]Sí certo si puó fare dividendo in quattro ma sono abbastanza convinto che venga zero, di sicuro non basta svolgere l'integrale nel primo quadrante e moltiplicare per 4 perché la funzione non é uguale in ogni quadrante.
Esatto, infatti io nel compito ho svolto tutti gli integrali e poi ne ho fatta la somma, che mi è venuta diversa da zero, ma sono convinto che avendo fatto di fretta ho sbagliato qualche segno o calcolo, perché anche io penso sia zero.[/quote]
Ho svolto gli integrali e il risultato finale mi viene $4/3$!
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