Integrale doppio in coordinate polari con valore assoluto
devo risolvere quest'integrale doppio che purtroppo mi da non pochi problemi specialmente quando lo trasformo in coordinate polari
$intint_D (x|y|)/sqrt(4x^2+y^2)dxdy$ dove $D={(x,y) in RR^2 : 4x^2+y^2<=1, 4x^2-4x+y^2>=0,x>=0}$
decido di trasformare le ellissi presenti in circonferenze allora effettuo la seguente trasformazione: ${(x=u/2),(y=v),(J=1/2):}$
l'integrale diventa così : $1/4intint_D (u|v|)/sqrt(u^2+v^2)dudv$ dove $D={(u,v) in RR^2 : u^2+v^2<=1, u^2-2u+v^2>=0,u>=0}$ a questo punto applico la trasformazione in coordinate polari e l'integrale diventa $intint_(g^(-1)(D)) rho^2costheta|sintheta|d\rhod\theta$ mentre il dominio diventa $g^(-1)(D)={(rho,theta) : 0<=rho<=1, rho>=2costheta,0<=theta<=pi/2, 3/2pi<=theta<=2pi}$ . adesso ho problemi con quel $2costheta$ . qualche idea?
$intint_D (x|y|)/sqrt(4x^2+y^2)dxdy$ dove $D={(x,y) in RR^2 : 4x^2+y^2<=1, 4x^2-4x+y^2>=0,x>=0}$
decido di trasformare le ellissi presenti in circonferenze allora effettuo la seguente trasformazione: ${(x=u/2),(y=v),(J=1/2):}$
l'integrale diventa così : $1/4intint_D (u|v|)/sqrt(u^2+v^2)dudv$ dove $D={(u,v) in RR^2 : u^2+v^2<=1, u^2-2u+v^2>=0,u>=0}$ a questo punto applico la trasformazione in coordinate polari e l'integrale diventa $intint_(g^(-1)(D)) rho^2costheta|sintheta|d\rhod\theta$ mentre il dominio diventa $g^(-1)(D)={(rho,theta) : 0<=rho<=1, rho>=2costheta,0<=theta<=pi/2, 3/2pi<=theta<=2pi}$ . adesso ho problemi con quel $2costheta$ . qualche idea?
Risposte
Perfetto anche io di solito preferiscoi cambiare il sistema di riferimento, torna molto utile 
Un unico appunto: Quando cambi la u, devi anche modificare lintegrale di partenza, quindi oltre ad avre un $1/2$ dovuto allo jacobiano, ne hai anche un'altro per la x al numeratore, dunque il coefficiente dovrebbe essere $1/4$, no?
Non so se hai già provveduto a disegnare il tuo dominio, è costituito da due circonferenze, entrambe di raggio 1 e di centro [0,0] e [1,0], ed inoltre c'è da considerare solo il semiasse positivo delle ascisse. Non so ma l'utilizzo delle polari non mi convince tanto, dato che il dominio non assomiglia per niente ad una circonferenza.
Un unico appunto: Quando cambi la u, devi anche modificare lintegrale di partenza, quindi oltre ad avre un $1/2$ dovuto allo jacobiano, ne hai anche un'altro per la x al numeratore, dunque il coefficiente dovrebbe essere $1/4$, no?
Non so se hai già provveduto a disegnare il tuo dominio, è costituito da due circonferenze, entrambe di raggio 1 e di centro [0,0] e [1,0], ed inoltre c'è da considerare solo il semiasse positivo delle ascisse. Non so ma l'utilizzo delle polari non mi convince tanto, dato che il dominio non assomiglia per niente ad una circonferenza.
"pater46":
Perfetto anche io di solito preferiscoi cambiare il sistema di riferimento, torna molto utile
Un unico appunto: Quando cambi la u, devi anche modificare lintegrale di partenza, quindi oltre ad avre un $1/2$ dovuto allo jacobiano, ne hai anche un'altro per la x al numeratore, dunque il coefficiente dovrebbe essere $1/4$, no?
Non so se hai già provveduto a disegnare il tuo dominio, è costituito da due circonferenze, entrambe di raggio 1 e di centro [0,0] e [1,0], ed inoltre c'è da considerare solo il semiasse positivo delle ascisse. Non so ma l'utilizzo delle polari non mi convince tanto, dato che il dominio non assomiglia per niente ad una circonferenza.
ah grazie pater46 mi era sfuggito quel $1/2$ al numeratore.ho provveduto a correggere.be il domino è composto da circonferenze ma purtroppo quello che ci interessa assomiglia poco ad una circonferenza.
Guardando il dominio e la funzione intanto ci possiamo rendere conto di una cosa:
Il dominio è simmetrico rispetto all'asse x. Questo significherebbe che se la funzione assumesse lo stesso segno, dato che l'unica cosa che sarebbere cambiata sarebbero stati gli estremi di integrazioni rispetto alla $y$, quell'integrale doppio sarebbe stato 0, giusto?
Ora, c'è anche quel bel valore assoluto che ci fa tornare i conti, dunque gli integrali sono identici, e se le mie supposizioni non sono errate, allora basterebbe calcolarci l'integrale solo su uno dei due domini e dopodichè moltiplicare per 2.
Spezzando algebricamente il dominio di sopra in due pezzi:
1) $0 <= y <= \sqrt(3)/2$ $0 <= x <= 1-\sqrt(1-y^2)$
2) $\sqrt(3)/2 <= y <= 1$ $0 <= x <= \sqrt(1-y^2)$
Dovremmo facilitarci un pò le cose. Il primo integrale sarebbe:
$int_0^{\sqrt(3)/2} ydy int_0^{1-\sqrt(1-y^2)} x/\sqrt(x^2+y^2) = int_0^{\sqrt(3)/2} y [\sqrt(x^2+y^2)]_0^{1-\sqrt(1-y^2)} dy$
E, scindendo secondo la proprietà additiva delll'integrale, il primo si integra per doppia sostituzione, il secondo è un integrale notevole.
Il secondo pezzo, invece:
$int_{\sqrt(3)/2}^1 ydy int_0^{\sqrt(1-y^2)} x/\sqrt(x^2+y^2) = int_{\sqrt(3)/2}^1 y(1-y)dy$
che si integra molto facilmente.
Sei d'accordo con me? Hai per caso il risultato?
Il dominio è simmetrico rispetto all'asse x. Questo significherebbe che se la funzione assumesse lo stesso segno, dato che l'unica cosa che sarebbere cambiata sarebbero stati gli estremi di integrazioni rispetto alla $y$, quell'integrale doppio sarebbe stato 0, giusto?
Ora, c'è anche quel bel valore assoluto che ci fa tornare i conti, dunque gli integrali sono identici, e se le mie supposizioni non sono errate, allora basterebbe calcolarci l'integrale solo su uno dei due domini e dopodichè moltiplicare per 2.
Spezzando algebricamente il dominio di sopra in due pezzi:
1) $0 <= y <= \sqrt(3)/2$ $0 <= x <= 1-\sqrt(1-y^2)$
2) $\sqrt(3)/2 <= y <= 1$ $0 <= x <= \sqrt(1-y^2)$
Dovremmo facilitarci un pò le cose. Il primo integrale sarebbe:
$int_0^{\sqrt(3)/2} ydy int_0^{1-\sqrt(1-y^2)} x/\sqrt(x^2+y^2) = int_0^{\sqrt(3)/2} y [\sqrt(x^2+y^2)]_0^{1-\sqrt(1-y^2)} dy$
E, scindendo secondo la proprietà additiva delll'integrale, il primo si integra per doppia sostituzione, il secondo è un integrale notevole.
Il secondo pezzo, invece:
$int_{\sqrt(3)/2}^1 ydy int_0^{\sqrt(1-y^2)} x/\sqrt(x^2+y^2) = int_{\sqrt(3)/2}^1 y(1-y)dy$
che si integra molto facilmente.
Sei d'accordo con me? Hai per caso il risultato?
"pater46":
Guardando il dominio e la funzione intanto ci possiamo rendere conto di una cosa:
Il dominio è simmetrico rispetto all'asse x. Questo significherebbe che se la funzione assumesse lo stesso segno, dato che l'unica cosa che sarebbere cambiata sarebbero stati gli estremi di integrazioni rispetto alla $y$, quell'integrale doppio sarebbe stato 0, giusto?
Ora, c'è anche quel bel valore assoluto che ci fa tornare i conti, dunque gli integrali sono identici, e se le mie supposizioni non sono errate, allora basterebbe calcolarci l'integrale solo su uno dei due domini e dopodichè moltiplicare per 2.
Spezzando algebricamente il dominio di sopra in due pezzi:
1) $0 <= y <= \sqrt(3)/2$ $0 <= x <= 1-\sqrt(1-y^2)$
2) $\sqrt(3)/2 <= y <= 1$ $0 <= x <= \sqrt(1-y^2)$
Dovremmo facilitarci un pò le cose. Il primo integrale sarebbe:
$int_0^{\sqrt(3)/2} ydy int_0^{1-\sqrt(1-y^2)} x/\sqrt(x^2+y^2) = int_0^{\sqrt(3)/2} y [\sqrt(x^2+y^2)]_0^{1-\sqrt(1-y^2)} dy$
E, scindendo secondo la proprietà additiva delll'integrale, il primo si integra per doppia sostituzione, il secondo è un integrale notevole.
Il secondo pezzo, invece:
$int_{\sqrt(3)/2}^1 ydy int_0^{\sqrt(1-y^2)} x/\sqrt(x^2+y^2) = int_{\sqrt(3)/2}^1 y(1-y)dy$
che si integra molto facilmente.
Sei d'accordo con me? Hai per caso il risultato?
si si hai ragione pater46.il tuo discorso non fa una piega.solo una domanda: come hai fatto ad ottenere ?
1) $0 <= y <= \sqrt(3)/2$ $0 <= x <= 1-\sqrt(1-y^2)$
2) $\sqrt(3)/2 <= y <= 1$ $0 <= x <= \sqrt(1-y^2)$
Ahm, ho considerato intanto solo il dominio sopra l'asse delle x.
Se vedi la y varia tra 0 e 1, mentre la x varia tra 0 e l'arco di una delle due circonferenze:
Prima del punto di contatto delle due circonferenze ( che si trova in $"["1/2", "\sqrt(3)/2"]"$ ) la x varia tra 0 e il lato sinistro della circonferenza di centro (1,0). Sopra il punto di contatto, però, è limitata da 0 alla parete della circonferenza di centro (0,0).
Puoi vederla come: $0 <= y <= 1$, $0 <= x <= min( \sqrt(1-y^2) , 1-\sqrt( 1-y^2) )$
Mmm.. ma invece sei convinto del discorso che si potrebbe semplicemente raddoppiare il risultato, non ti nascondo che ho alcuni dubbi, dovrei provare.
Se vedi la y varia tra 0 e 1, mentre la x varia tra 0 e l'arco di una delle due circonferenze:
Prima del punto di contatto delle due circonferenze ( che si trova in $"["1/2", "\sqrt(3)/2"]"$ ) la x varia tra 0 e il lato sinistro della circonferenza di centro (1,0). Sopra il punto di contatto, però, è limitata da 0 alla parete della circonferenza di centro (0,0).
Puoi vederla come: $0 <= y <= 1$, $0 <= x <= min( \sqrt(1-y^2) , 1-\sqrt( 1-y^2) )$
Mmm.. ma invece sei convinto del discorso che si potrebbe semplicemente raddoppiare il risultato, non ti nascondo che ho alcuni dubbi, dovrei provare.
"pater46":
Ahm, ho considerato intanto solo il dominio sopra l'asse delle x.
Se vedi la y varia tra 0 e 1, mentre la x varia tra 0 e l'arco di una delle due circonferenze:
Prima del punto di contatto delle due circonferenze ( che si trova in $"["1/2", "\sqrt(3)/2"]"$ ) la x varia tra 0 e il lato sinistro della circonferenza di centro (1,0). Sopra il punto di contatto, però, è limitata da 0 alla parete della circonferenza di centro (0,0).
Puoi vederla come: $0 <= y <= 1$, $0 <= x <= min( \sqrt(1-y^2) , 1-\sqrt( 1-y^2) )$
Mmm.. ma invece sei convinto del discorso che si potrebbe semplicemente raddoppiare il risultato, non ti nascondo che ho alcuni dubbi, dovrei provare.
be si perché non si potrebbe? dato che è simmetrica basta considerare come hai detto tu la parte superiore e poi moltiplicare il tutto per $2$.invece a me stanno venendo dei dubbi sul domino.perché forse stiamo considerando due domini diversi. a te il dominio che ti viene fuori dal disegno è quella specie di i inarcata che sta tra le due circonferenze vero?
Si, è che qui non si possono disegnare le aree... Comunque sarebbe l'area della circonferenza di centro (0,0) meno quella della circonferenza di centro (1,0) meno ancora il secondo ed il terzo quadrante.
Insomma quelle specie di ali
Insomma quelle specie di ali
"pater46":
Ahm, ho considerato intanto solo il dominio sopra l'asse delle x.
Se vedi la y varia tra 0 e 1, mentre la x varia tra 0 e l'arco di una delle due circonferenze:
Prima del punto di contatto delle due circonferenze ( che si trova in $"["1/2", "\sqrt(3)/2"]"$ ) la x varia tra 0 e il lato sinistro della circonferenza di centro (1,0). Sopra il punto di contatto, però, è limitata da 0 alla parete della circonferenza di centro (0,0).
Puoi vederla come: $0 <= y <= 1$, $0 <= x <= min( \sqrt(1-y^2) , 1-\sqrt( 1-y^2) )$
Mmm.. ma invece sei convinto del discorso che si potrebbe semplicemente raddoppiare il risultato, non ti nascondo che ho alcuni dubbi, dovrei provare.
mmm pensandoci non mi convince una cosa.sopra il punto di contato delle due circonferenze siamo fuori il dominio. perché allora consideri anche quella parte?
ecco qui il domino [img]http://www4a.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP69919bb29c5f99h7ae800004hhf171bc8fgcidi?MSPStoreType=image/gif&s=46&w=200&h=206[/img]
Ti ho scannerizzato il mio dominio.
Se, nel frattempo, vuoi dare un'occhiata al procedimento, una votla che avevo già scannerizzato la pagina, l'ho uppata su imageshack,
http://a.imageshack.us/img19/3584/71036933.jpg
Se, nel frattempo, vuoi dare un'occhiata al procedimento, una votla che avevo già scannerizzato la pagina, l'ho uppata su imageshack,
http://a.imageshack.us/img19/3584/71036933.jpg
"pater46":
Ti ho scannerizzato il mio dominio.
Se, nel frattempo, vuoi dare un'occhiata al procedimento, una votla che avevo già scannerizzato la pagina, l'ho uppata su imageshack,
http://a.imageshack.us/img19/3584/71036933.jpg
grazie pater46 adesso con disegno annesso è tutto più chiaro.unica pecca: non ho il risultato purtroppo.sei stato gentilissimo.secondo me il tuo ragionamento fila perfettamente.
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