Integrale doppio in coordinate polari

[dark.hero]

ho questo integrale doppio

$ int int_(T)^() [8y-9-x^2-y^2] dx dy $
$ T=x^2+(y-4)^2<=7, x>=0 $

voglio passare alle coordinate polari per facilitare il calcolo

$ x = r cos(beta) $ , $ y = r sin(beta) $
con $ +pi/2 <= beta <= -pi/2 $ , $ 0 <= r <= sqrt(7) $

$ int_(-pi/2)^(pi/2) int_(0)^(sqrt(7)) [8y-9-x^2-y^2] dr dbeta $

è corretto?
grazie

[mauro.bona]

Ciao,
prima cosa: il centro del tuo cerchio è $(0,4)$, quindi le coordinate polari le devi centrare in questo punto; seconda cosa: devi sostituire alle x e alle y nell'integrale la loro parametrizzazione e devi aggiungere l'elemento d'area della trasformazione, che è r. Viene così:

$ x = rcos(beta) $ , $ y = 4+rsin(beta) $
con $ -pi/2 <= beta <= pi/2 $ , $ 0 <= r <= sqrt(7) $

$ int_(-pi/2)^(pi/2) int_(0)^(sqrt(7)) [8(4+rsin(beta))-9-(rcos(beta) )^2-(4+rsin(beta))^2] r dr dbeta $

e poi risolvi. Spero di esserti stato d'aiuto.

[Paolo902]

Io avrei prima traslato il (semi)cerchio nell'origine, con il cambiamento $X=x$, $Y=y-4$. Calcolando il determinante jacobiano della trasformazione (quello che dà la trasformazione inversa di quella che ho scritto) viene 1, quindi non ci sono fattori da aggiungere (per adesso).

In compenso, il dominio si è trasformato in $T^*={X^2+Y^2<=7,X>=0}$ che è un bel semicerchio centrato in O e l'integrando in $-(X^2+Y^2)+7$. Adesso trasformo in coordinate polari il tutto (i conti sono semplici) e mi viene $-28pi$.

Vi torna?

[Fabrizio84901]

io l'avrei fatto come dice "mauro.bona" perchè se faccio il cambiamento come quello fatto da paolo90 alla fine mi intreccio sempre (anche se vanno bene in tutti e 2 i modi),però definirei il modo di paolo90 più "pulito"

[dark.hero]

ok grazie a tutti dell'aiuto!!

[dark.hero]

Paolo90: l'integrale doppio non è un calcolo di un volume? quindi come può un volume essere negativo?

io ho provato a risolvere l'esercizio un paio di volte e mi esce $ sqrt(7) 14/3 pi $

[ciampax]

@dark.hero: gli integrali (semplici, doppi, tripli, ecc...) determinano la misura dell'insieme sotteso dalla funzione integranda sulla "base" fornita dal dominio di integrazione. Tuttavia tale misura è "algebrica", ciè dotata di segno: nel caso banale dell'integrale in 1 variabile, ad esempio, [tex]$\int_0^1 -x\ dx=-\frac{1}{2}$[/tex] che è l'area del triangolo di vertici $(0,0),\ (1,0),\ (1,-1)$ dotato del segno $-$ poiché si trova sotto l'asse $x$. Se segui attentamente le trasformazioni usate da Paolo, ti accorgerai che sul dominio $X^2+Y^2\le 7$ la funzione integranda risulta $-(X^2+Y^2)+7\le 0$ (risulta sempre negativa: quindi sì, stai calcolando il volume sotteso dalla superficie $-(X^2+Y^2)+7$ e sul dominio $T$, ma tale volume si trova sotto il piano $xOy$ e pertanto viene con segno negativo. Spero di essere stato chiaro.

@Paolo: on ho rifatto i conti ma ad occhi la cosa mi pare possibile.... visto che il volume di cui stiamo parlando è la calotta sferica inferiore di centro $(0,4,0)$ e raggio $\sqrt{7}$.

[dark.hero]

ok grazie sei stato molto chiaro.

riprovo a fare i conti (utilizzando l'integrale proposto da mauro.bona)

[dark.hero]

questi sono i miei calcoli:

$ 8y - 9 - x^2 - y^2 = 8(rsin(beta)+4)-9-(rcos(beta))^2-(rsin(beta)+4)^2 = $
$ 8rsin(beta) +32 -9 -r^2cos^2(beta) -(r^2sin^2(beta) + 16+8rsin(beta)) = $
$ 8rsin(beta)+23-r^2cos^2(beta)-r^2sin(beta)-16-8rsin(beta)=7-r^2(cos^2(beta)+sin^2(beta))=7-r^2 $

$ int_(0)^(sqrt(7)) (7-r^2) dr = 7sqrt(7)-7/3sqrt(7)= 14/3 sqrt(7) $

$ int_(-pi/2)^(+pi/2) (14/3 sqrt(7)) dbeta = 14/3sqrt(7)(pi/2 - (-pi/2)) = 14/3sqrt(7)pi$

sono corretti?

[dark.hero]

mi sembra di aver dimenticato un $r$ nel primo integrale

quindi correggendo viene

$ int_(0)^(sqrt(7)) (7-r^2)r dr = 49/4 $

$ int_(-pi/2)^(+pi/2) (49/4) dbeta = 49/4pi$

[ciampax]

Nel quadrato di $(r\sin\beta+4)$ hai sbagliato il doppio prodotto: viene $8r\sin\beta$

[dark.hero]

scusami è un errore di battitura. nella riga dopo vedrai che è corretto.

EDIT: ho modificato il post