Integrale doppio in coordinate polari

[Tycos]

Salve a tutti... sto avendo parecchie difficoltà con la risoluzione di questo integrale doppio. In realtà l'ho svolto ma il risultato non mi convince vi scrivo il testo:

Calcolare $int int_T sqrt(x^2 + y^2) dx dy$ dove $ T = {(x,y) : x^2+y^2-x-y>=0; x^2+y^2-2x-2y<=0}$

ho trovato le due circonferenze di $T$ e ho notato che oltre ad avere un punto di intersezione in comune (cioè in $(0,0)$), ho visto che la tangente in questo punto alle due circonferenze è la bisettrice del 2° e 4° quadrante cioè $y=-x$.

Quindi in coordinate polari ho trovato che $\rho = [cos (\theta) + sen (\theta) , 2 (cos (\theta) + sen (\theta)) ]$ e $\theta = [-\pi / 4, 3/4 \pi]$ ... vorrei sapere se come ragionamento può funzionare... grazie mille!

[Tycos]

il risultato che mi trovo è $28/3 sqrt(2)$

[ironshadow1]

come hai fatto a trovarti ro (ρ) e teta ???

[barbaraMU86]

mi sono imbattuto pure io in questo esercizio, però non riesco capire come si calcola il $θ$
praticamente sostituendo le coordinate polari nel dominio ottengo
$cos(θ)+sin(θ)<=ρ<=2(sin(θ)+cos(θ))$
ma $θ$?
so che deve essere compreso
$-((π)/4)<=θ<=((3π)/4)$
ma non capisco ci si arriva.
grazie

[ciampax]

Sì, le limitazioni sono corrette. Come osservava Tycos, per determinare l'intervallo in cui varia $\theta$, è sufficiente osservare che le due circonferenze hanno nell'origine retta tangente pari alla bisettrice del II e IV quadrante, e dedurre che, quindi, i valori degli angoli sono tutti quelli compresi tra il segmento del IV quadrante di tale retta (limitato dal valore angolare $\theta=-{\pi}/4$) e il segmento del II quadrante della stessa (limitato dal valore angolare ${3\pi}/4$).