Integrale doppio in coordinate polari
Buon pomeriggio a tutti!
Mi chiedevo se cortesemente poteste aiutarmi nel calcolo di un integrale doppio, esplicitamente richiesto in coordinate polari
Sia D il dominio contenuto nel primo quadrante, delimitato dall'arco di circonferenza $y=sqrt(1-x^2)$ e dalle rette $y=2-x$, $y = 0$ e $x = 0$. Utilizzando le coordinate polari, calcolare:
\[\iint_{D} \frac{2x+y}{x^2+y^2}dxdy\]
Stavo procedendo in questo modo:
Sia $x=\rho \cos(\theta)$, $y=\rho \sin(\theta)$, $|J|=\rho$. Dalla definizione di D, ottengo:
$D={(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x>0, y>0, sqrt(1-x^2) \leq y \leq 2-x, 0 \leq x \leq 2}$
Da $x>0$ e $y>0$ ottengo $\theta \in [0,\frac{pi}{2}]$.
Impongo dunque il sistema:
\[\begin{cases} y \geq \sqrt{1-x^2} \iff \rho^2 \sin^2(\theta)\geq 1-\rho^2 \cos^2(\theta) \iff \rho\geq 1 \\ 1-\rho^2 \cos^2(\theta)\geq 0 \iff \rho \leq \frac{1}{|\cos(\theta)|} \iff -\frac{1}{\cos(\theta)} \leq \rho \leq \frac{1}{\cos(\theta)}\\ 0 \leq x \leq 2 \iff 0 \leq \rho \leq \frac{2}{\cos(\theta)}\\ 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\\ y \leq 2-x \iff \rho \sin(\theta) \leq 2- \rho \cos(\theta) \iff \rho \leq \frac{2}{(\sin(\theta)+\cos(\theta))} \end{cases}\]
Dall'intersezione tra (1), (2), (3) ottengo: $1 \leq \rho \leq frac{1}{\cos(\theta)}$
La (2) esce dalla condizione di esistenza di $\sqrt{1-x^2}$ in $\mathbb{R}$, in cui ho diviso per $\cos^2(\theta)$ ammesso che $\theta \ne \frac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbb {Z}$.
E qui ho il primo dubbio: se $\theta \in [0,frac{\pi}{2}]$, come posso assumere che $\theta \ne \frac{\pi}{2}$?
Secondo dubbio: dalla (5) occorre vedere chi è il più piccolo tra $\frac{2}{(\sin(\theta)+\cos(\theta))$ e $\frac{1}{\cos(\theta)}$, e risolvendo noto che:
\[\frac{2}{(\sin(\theta)+\cos(\theta))} \leq \frac{1}{\cos(\theta)} \iff \frac{\pi}{4} \leq \theta <\frac{\pi}{2}\]
Dovrei quindi spezzare gli integrali? In tal modo risolverei il primo dubbio, perchè in $\frac{2}{\cos(\theta)+\sin(\theta)}$ non sarebbe richiesto $\cos(\theta)\ne 0 $.
Vi ringrazio in anticipo dell'attenzione!
EDIT: Credo di dover calcolare l'integrale doppio in questo modo:
\[\iint_{D'}[2\cos(\theta)+\sin(\theta)]d\rho d\theta=\\ \int_0^{\pi/4}[2\sin(\theta)+\cos(\theta)]d\theta \int_1^{1/(\cos(\theta))} d\rho+\int_{\pi/4}^{\pi/2}[2\sin(\theta)+\cos(\theta)]d\theta \int_{1}^{\frac{2}{\cos(\theta)+\sin(\theta)}} d\rho\]
Attendo vostra conferma
Mi chiedevo se cortesemente poteste aiutarmi nel calcolo di un integrale doppio, esplicitamente richiesto in coordinate polari
Sia D il dominio contenuto nel primo quadrante, delimitato dall'arco di circonferenza $y=sqrt(1-x^2)$ e dalle rette $y=2-x$, $y = 0$ e $x = 0$. Utilizzando le coordinate polari, calcolare:
\[\iint_{D} \frac{2x+y}{x^2+y^2}dxdy\]
Stavo procedendo in questo modo:
Sia $x=\rho \cos(\theta)$, $y=\rho \sin(\theta)$, $|J|=\rho$. Dalla definizione di D, ottengo:
$D={(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x>0, y>0, sqrt(1-x^2) \leq y \leq 2-x, 0 \leq x \leq 2}$
Da $x>0$ e $y>0$ ottengo $\theta \in [0,\frac{pi}{2}]$.
Impongo dunque il sistema:
\[\begin{cases} y \geq \sqrt{1-x^2} \iff \rho^2 \sin^2(\theta)\geq 1-\rho^2 \cos^2(\theta) \iff \rho\geq 1 \\ 1-\rho^2 \cos^2(\theta)\geq 0 \iff \rho \leq \frac{1}{|\cos(\theta)|} \iff -\frac{1}{\cos(\theta)} \leq \rho \leq \frac{1}{\cos(\theta)}\\ 0 \leq x \leq 2 \iff 0 \leq \rho \leq \frac{2}{\cos(\theta)}\\ 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\\ y \leq 2-x \iff \rho \sin(\theta) \leq 2- \rho \cos(\theta) \iff \rho \leq \frac{2}{(\sin(\theta)+\cos(\theta))} \end{cases}\]
Dall'intersezione tra (1), (2), (3) ottengo: $1 \leq \rho \leq frac{1}{\cos(\theta)}$
La (2) esce dalla condizione di esistenza di $\sqrt{1-x^2}$ in $\mathbb{R}$, in cui ho diviso per $\cos^2(\theta)$ ammesso che $\theta \ne \frac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbb {Z}$.
E qui ho il primo dubbio: se $\theta \in [0,frac{\pi}{2}]$, come posso assumere che $\theta \ne \frac{\pi}{2}$?
Secondo dubbio: dalla (5) occorre vedere chi è il più piccolo tra $\frac{2}{(\sin(\theta)+\cos(\theta))$ e $\frac{1}{\cos(\theta)}$, e risolvendo noto che:
\[\frac{2}{(\sin(\theta)+\cos(\theta))} \leq \frac{1}{\cos(\theta)} \iff \frac{\pi}{4} \leq \theta <\frac{\pi}{2}\]
Dovrei quindi spezzare gli integrali? In tal modo risolverei il primo dubbio, perchè in $\frac{2}{\cos(\theta)+\sin(\theta)}$ non sarebbe richiesto $\cos(\theta)\ne 0 $.
Vi ringrazio in anticipo dell'attenzione!
EDIT: Credo di dover calcolare l'integrale doppio in questo modo:
\[\iint_{D'}[2\cos(\theta)+\sin(\theta)]d\rho d\theta=\\ \int_0^{\pi/4}[2\sin(\theta)+\cos(\theta)]d\theta \int_1^{1/(\cos(\theta))} d\rho+\int_{\pi/4}^{\pi/2}[2\sin(\theta)+\cos(\theta)]d\theta \int_{1}^{\frac{2}{\cos(\theta)+\sin(\theta)}} d\rho\]
Attendo vostra conferma
Risposte
Se non è richiesto esplicitamente il procedimento analitico, conviene quello grafico:
Tra l'altro, appare anche più evidente che non è necessario spezzare l'integrale.
$I=\int_{0}^{\pi/2}d\theta\int_{1}^{2/(cos\theta+sin\theta)}d\rho(2cos\theta+sin\theta)$
Tra l'altro, appare anche più evidente che non è necessario spezzare l'integrale.
Ciao e grazie della risposta!
Però come mai scelgo $\rho \leq \frac{2}{\cos(\theta)+\sin(\theta)}$ e non $\rho \leq \frac{1}{\cos(\theta)}$?
Non riesco a convincermene, dato che dovrei intersecare queste due soluzioni, e una è più piccola dell'altra solo nella metà del quadrante. Potresti chiarirmi questa cosa?
Grazie ancora, molto gentile!
Però come mai scelgo $\rho \leq \frac{2}{\cos(\theta)+\sin(\theta)}$ e non $\rho \leq \frac{1}{\cos(\theta)}$?
Non riesco a convincermene, dato che dovrei intersecare queste due soluzioni, e una è più piccola dell'altra solo nella metà del quadrante. Potresti chiarirmi questa cosa?
Grazie ancora, molto gentile!
Le condizioni sono:
Inoltre, dato che, nel primo quadrante:
è sempre vera, si ha:
$[\rhocos\theta gt 0] ^^ [\rhosin\theta gt 0] ^^ [\rhocos\theta+\rhosin\theta-2 lt 0] ^^ [\rho^2 gt 1] rarr$
$rarr [cos\theta gt 0] ^^ [sin\theta gt 0] ^^ [\rho lt 2/(cos\theta+sin\theta)] ^^ [\rho gt 1]$
Inoltre, dato che, nel primo quadrante:
$1 lt 2/(cos\theta+sin\theta)$
è sempre vera, si ha:
$[cos\theta gt 0] ^^ [sin\theta gt 0] ^^ [1 lt \rho lt 2/(cos\theta+sin\theta)]$
Grazie mille della risposta.
Dato che compare $y\geq \sqrt{1-x^2}$, come mai non abbiamo considerato anche
$\sqrt{1-x^2}\geq0 \iff 1-x^2\geq0$, da cui $\rho\leq \frac{1}{\cos(\theta)}$?
Poichè $\frac{2}{(\sin(\theta)+\cos(\theta))} \geq\frac{1}{\cos(\theta)}$ in $ 0 \leq \theta <\frac{\pi}{4}$, in questo intervallo non violerei la condizione di esistenza della radice in $\mathbb{R}$?
Mi scuso per l'eventuale banalità, ma mi sono perso questo passaggio.
Dato che compare $y\geq \sqrt{1-x^2}$, come mai non abbiamo considerato anche
$\sqrt{1-x^2}\geq0 \iff 1-x^2\geq0$, da cui $\rho\leq \frac{1}{\cos(\theta)}$?
Poichè $\frac{2}{(\sin(\theta)+\cos(\theta))} \geq\frac{1}{\cos(\theta)}$ in $ 0 \leq \theta <\frac{\pi}{4}$, in questo intervallo non violerei la condizione di esistenza della radice in $\mathbb{R}$?
Mi scuso per l'eventuale banalità, ma mi sono perso questo passaggio.
Scusate, ma non è scritto un po' male $D$? Se $0 \leq x \leq 2$ ci sono valori per cui $\sqrt{1-x^2}$ non ha senso nei reali, quindi dovrebbe essere ristretto il tutto a $0 \leq x \leq 1$; ma se così fosse allora il grafico postato da @anonymous_0b37e9 è forviante (non dovrebbe esserci il pezzo di insieme a destra della retta verticale $x=1$), a meno che lui non intendeva che quello è il grafico per le funzioni date da $D$ e poi andava ridiscusso in base alle condizioni. Poi magari è solo il grafico e sicuramente la risoluzione di @anonymous_0b37e9 è corretta, tengo a precisare che non ho alcun tono accusatorio.
Infatti la mia idea iniziale, avendo visto il grafico postato da Sergeant Elias, era di calcolare l'integrale per differenza tra il triangolo di vertici $(0,0)$, $(2,0)$ e $(0,2)$ proprio per evitare quei conti immondi, ma non mi tornavano i conti perché, se non ho preso un abbaglio, non è tutto il triangolo individuato dalle rette $x=0$, $y=0$ e $y = 2-x$ nell'insieme di integrazione ma solo il trapezio rettangolo di vertici $(0,0)$, $(1,0)$, $(0,2)$ e $(1,1)$.
Se così fosse, seguendo la mia idea di farlo per differenza tra il trapezio rettangolo e il quarto di cerchio si avrebbe
$$\int_D \frac{2x+y}{x^2+y^2} \text{d}x \text{d}y=\int_0^1 \left(\int_0^{2-x} \frac{2x+y}{x^2+y^2} \text{d}y \right) \text{d}x-\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(\int_0^1 (2\cos \theta + \sin \theta) \text{d}\rho \right)\text{d}\theta$$
Spero di non aver preso un abbaglio e di non aver interpretato male il grafico di Sergeant Elias, in tal caso mi scuso in anticipo!
Comunque non credo sia propriamente ciò che il tuo docente vuole, tuttavia a volte mi sembrano insensate queste imposizioni; poi oh, le coordinate polari le ho usate comunque (se non ho sbagliato) e puoi vedere come altri approcci, a volte, possono aiutare.
Infatti la mia idea iniziale, avendo visto il grafico postato da Sergeant Elias, era di calcolare l'integrale per differenza tra il triangolo di vertici $(0,0)$, $(2,0)$ e $(0,2)$ proprio per evitare quei conti immondi, ma non mi tornavano i conti perché, se non ho preso un abbaglio, non è tutto il triangolo individuato dalle rette $x=0$, $y=0$ e $y = 2-x$ nell'insieme di integrazione ma solo il trapezio rettangolo di vertici $(0,0)$, $(1,0)$, $(0,2)$ e $(1,1)$.
Se così fosse, seguendo la mia idea di farlo per differenza tra il trapezio rettangolo e il quarto di cerchio si avrebbe
$$\int_D \frac{2x+y}{x^2+y^2} \text{d}x \text{d}y=\int_0^1 \left(\int_0^{2-x} \frac{2x+y}{x^2+y^2} \text{d}y \right) \text{d}x-\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(\int_0^1 (2\cos \theta + \sin \theta) \text{d}\rho \right)\text{d}\theta$$
Spero di non aver preso un abbaglio e di non aver interpretato male il grafico di Sergeant Elias, in tal caso mi scuso in anticipo!
Comunque non credo sia propriamente ciò che il tuo docente vuole, tuttavia a volte mi sembrano insensate queste imposizioni; poi oh, le coordinate polari le ho usate comunque (se non ho sbagliato
) e puoi vedere come altri approcci, a volte, possono aiutare.
@Mephlip Ti ringrazio innanzitutto dell'aiuto!
Sono completamente d'accordo sull'inutilità dell'impostazione, in cartesiane ci volevano 2 minuti..
Comunque sì, in effetti già dal principio la radice perderebbe di significato.. Infatti per questo avevo dubbi sulla limitazione su $\rho$. Faccio parecchia fatica a questo punto a capire come impostarlo in polari.
Se provassimo a tracciare un segmento verticale in $x=1$? In questo modo non avremmo più problemi sulla condizione $1-x^2\geq0$ e magari potremmo calcolare i due integrali separatamente, che in realtà stavo provando a fare già prima spezzando da $0$ a $\pi/4$ e da $\pi/4$ a $\pi/2$.
Sono completamente d'accordo sull'inutilità dell'impostazione, in cartesiane ci volevano 2 minuti..
Comunque sì, in effetti già dal principio la radice perderebbe di significato.. Infatti per questo avevo dubbi sulla limitazione su $\rho$. Faccio parecchia fatica a questo punto a capire come impostarlo in polari.
Se provassimo a tracciare un segmento verticale in $x=1$? In questo modo non avremmo più problemi sulla condizione $1-x^2\geq0$ e magari potremmo calcolare i due integrali separatamente, che in realtà stavo provando a fare già prima spezzando da $0$ a $\pi/4$ e da $\pi/4$ a $\pi/2$.
Rileggendo il testo:
non mi sembra sussistano particolari problemi nell'interpretare il dominio secondo il grafico sottostante:
Magari mi sto perdendo qualcosa.
Figurati, nessun problema.
"emanuele_12":
Sia D il dominio contenuto nel primo quadrante, delimitato dall'arco di circonferenza $y=sqrt(1-x^2)$ e dalle rette $y=2-x$, $y = 0$ e $x = 0$.
non mi sembra sussistano particolari problemi nell'interpretare il dominio secondo il grafico sottostante:
Magari mi sto perdendo qualcosa.
"Mephlip":
... tengo a precisare che non ho alcun tono accusatorio.
Figurati, nessun problema.
Il fatto è che da $\sqrt{1-x^2}$ deve essere $-1 \leq x \leq 1$ e per definizione di $D$ deve essere $x \geq 0$, perciò essendo il punto $(1,0)$ l'intersezione del quarto di circonferenza con l'asse $x$ la condizione $0 \leq x \leq 1$ dovrebbe escludere la parte del grafico a destra della retta verticale $x=1$. O sbaglio qualcosa io?
"emanuele_12":
... delimitato dall'arco di circonferenza $y=sqrt(1-x^2)$ ...
Il testo "parziale", scomodando l'arco di circonferenza e assegnandolo esplicitamente, deve necessariamente richiamare la funzione sottostante:
$y=sqrt(1-x^2)$
Tuttavia, per quanto riguarda il testo "integrale", si dovrebbe intendere:
$[x^2+y^2 gt 1] ^^ [y gt 0]$
In definitiva, la condizione:
$-1 lt x lt 1$
essendo riferita alla sola esplicitazione dell'arco di circonferenza, non mi pare in alcun modo significativa nella determinazione del dominio di integrazione.
Grazie mille per la chiarificazione!
Buon proseguimento. 
Grazie a tutti dell'aiuto, gentilissimi!
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