Integrale doppio in coordinate polari

[cechuz]

ragazzi ho un problema con l'esercizio svolto $e) $ sugli integrali doppi al seguente link:
http://calvino.polito.it/~nicola/analisi-II/Esercizi%20svolti%20e%20Temi%20d%27esame/Esercizi/svol_integrali_doppi.pdf

nello specifico non capisco come ricava $ vartheta=pi/3$ perchè l'unico valore che sono riuscita a trovare per sostituzione in $ y>0$ e $ x^2+y^2< 2x $ con $ rhosin(vartheta)>0 $ e $ rho^2cos^2(vartheta)+ rho^2sin^2(vartheta)< rhosin(vartheta) $ rispettivamente è $ { ( sin(vartheta)>0 ),( cos(vartheta)>0 ):} $ ossia $ 0< vartheta < pi/2 $

inoltre non capisco come mai dopo aver ricavato l'integrale $ int_(Omega') rho^3 cos(vartheta) sin(vartheta) drho dvartheta $ = $ int_(Omega'_1) rho^3 cos(vartheta) sin(vartheta) drho dvartheta + int_(Omega'_2) rho^3 cos(vartheta) sin(vartheta) drho dvartheta $ risolve il primo come un semplice prodotto tra integrali ed il secondo come un integrale doppio...

[pilloeffe]

Ciao cechuz,

Beh, mi pare evidente che le due circonferenze si incontrano nel punto $x = 1/2 $, e dato che $cos\theta = 1/2 \implies \theta = \pi/3 $. Quindi per $0 < \theta < \pi/3 $ si ha $0 < \rho < 1 $, mentre per $\pi/3 <= \theta < pi/2 $ si ha $0 < \rho < 2cos\theta $. Il primo integrale si può separare perché gli integrali nelle variabili $\rho $ e $\theta $ sono indipendenti, mentre nel secondo uno degli estremi dell'integrale nella variabile $\rho $ dipende da $\theta $. Per il resto l'esercizio mi sembra svolto molto bene, per cui non dovresti avere difficoltà a comprenderlo.

[Bokonon]

@cechuz
In coordinate polari il dominio viene spezzato fra zona rossa e zona verde.
Per la zona rossa è facile.
$0 Quante direzioni ci sono? Beh si parte dalla direzione con angolo zero (est) e si arriva all'angolo in cui le due circonferenze si intersecano, ovvero quando $x=1/2$, ovvero quando $cos(theta)=1/2$, ovvero quando $theta=pi/3$

Per spazzare la zona verde invece le direzioni partono da $pi/3$ fino $pi/2$ e le distanze variano fra 0 (quando la direzione punta a nord) fino a toccare sempre la circonferenza di centro (1,0) che in coordinati polari diventa $r=2cos(theta)$
Quindi $0


Visto che la funzione è $xy$ è immediato "vedere" che l'integrale della y diventerà $y^2/2$
In questi casi è possibile anche fare a meno (volendo) delle coordinate polari, perchè come vedrai le radici spariscono.
Infatti restando nelle coordinate cartesiane è possibile spezzare il dominio in due integrali:

$ int_0^(1/2)x (int_(0)^(sqrt(2x-x^2))ydy) dx + int_(1/2)^1x (int_(0)^(sqrt(1-x^2))ydy) dx $

[cechuz]

grazie, ho capito!

ne approfitto per mostrarvi un altro esercizio:
$ f(x,y)=e^(3x+7y) $ e l'insieme è $ A={(x,y) in R^2 | (3x+7y)^2<= x-2y<= 8} $
mi chiede di calcolare l'integrale della funzione sull'insieme indicato.

Non riesco a disegnare l'insieme, ho difficoltà con $ (3x+7y)^2= x-2y $. Come risalgo alla conica?
Poi ancora un'altra domanda: solitamente per risolvere questa tipologia di esercizi procedo dapprima per via geometrica e poi analitica, tuttavia se non dovessi essere in grado di individuare la conica o la quadrica come procedo esclusivamente per via analitica? Ossia come faccio a determinare la variabile da integrare per prima e sopratutto gli estremi di integrazione??