Integrale doppio in coordinate polari
La traccia è la seguente:
Calcolare il seguente integrale doppio:
$int int_Cydxdy$
Dove $C$ è la regione di piano descritta in coordinate polari da $rho <= 1+costheta$ con $theta in [0,pi]$
P.s ho provato a risolverlo semplicemente sostituendo in $rho <= 1+costheta$ i valori di $theta$,(per capire fra quali punti varia $rho$), ma poi se è giusto fare così, la $y$ che si trova nell'integrale non saprei a cosa sostituirla.
Potreste spiegarmi come procedere quando ho l'integrale posto in questo modo?
Calcolare il seguente integrale doppio:
$int int_Cydxdy$
Dove $C$ è la regione di piano descritta in coordinate polari da $rho <= 1+costheta$ con $theta in [0,pi]$
P.s ho provato a risolverlo semplicemente sostituendo in $rho <= 1+costheta$ i valori di $theta$,(per capire fra quali punti varia $rho$), ma poi se è giusto fare così, la $y$ che si trova nell'integrale non saprei a cosa sostituirla.
Potreste spiegarmi come procedere quando ho l'integrale posto in questo modo?
Risposte
Beh giustamente come dicevi, prima di tutto devi capire fra quali valori variano $\theta$ e $\rho$, dunque $0\le \theta \le \pi$ perché te lo dice già l'esercizio, mentre poiché tra $0$ e $\pi$ il coseno è strettamente decrescente allora ottieni che $0\le \rho \le 2$ questo perché la $\rho$ non è una coordinata a casaccio ma è $\rho =x^2+y^2$ dunque strettamente positiva( se così non fosse avresti avuto semplicemente $\rho\le 2$).
Non ti resta altro che fare una sostituzione, cioè trasformare l'integrale in coordinate cartesiane in un integrale in coordinate polari.
La trasformazione in coordinate polari è una funzione $f:\R^2\to\R^2$ ed è la seguente che sicuramente conosci :
$$
f(\rho,\theta)=\binom{\rho \cos\theta}{\rho\sin\theta}
$$
in termini visti più di frequente stiamo dicendo che $x=\rho \cos\theta$ e $y=\rho\sin\theta$ , a cosa ci è servito scrivere la trasformazione ? Ci è servito perché così possiamo calcolare il modulo del determinante jacobiano ovvero:
$$
|\det(J(\rho,\theta))|=\left|\det\begin{bmatrix}\frac{\partial x}{\partial \rho} & \frac{\partial y}{\partial \rho}\\ \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \theta}\end{bmatrix}\right|=\rho
$$
Perché facciamo tutto ciò? lo facciamo perché si dimostra (teorema di sostituzione mi pare si chiami) che in un integrale multiplo posso sostituire le mie variabili ( ad esempio $x$ ed $y$ con altre, proprio come si è sempre fatto con gli integrali singoli) a patto di moltiplicare il tutto per il valore assoluto del determinate jacobiano. Più rigorosamente (ma non troppo) sto dicendo che:
Sia $g(x,y):\R^2\to \R$ e sia $h(\alpha,\beta):\R^2\to \R$ entrambe differenziabili, tali che esista una trasformazione differenziabile ed invertibile $f(\alpha,beta):\R^2\to \R^2$ per cui vale che $h(\alpha,\beta)= g(x,y)\circ f(\alpha,\beta)$ allora se il modulo del determinante jacobiano della trasformazione (che per comodità indichiamo semplicemente con $J$) è diverso da zero allora vale la seguente uguaglianza:
$$
\int\int_C g(x,y)dxdy=\int\int_C h(\alpha,\beta) J d\alpha d\beta
$$
Poi ci sarebbero anche delle ipotesi di regolarità sui domini però vai a leggerti il teorema e ti risolvi ogni dubbio.
Come applichiamo questo all'esercizio?
Beh $J=\rho$ e l'abbiamo calcolato prima, poiché $g(x,y)=y$ allora $h(\alpha,\beta)=h(\rho,\theta)=g(x,y)\circ f(\rho,\theta)=g(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)=\rho \sin \theta$ ed è la nostra funzione in coordinate polari.
Quindi il nostro integrale in coordinate polari diventa:
$$
\int\int_C\rho\sin\theta \rho d\rho d\theta =\int\int_C\rho^2\sin\theta d\rho d\theta
$$
Ora mettiamo gli estremi che abbiamo trovato in precedenza e diventa
$$
\int_0^2d\rho\int_0^\pi\rho^2\sin\theta \rho d\theta =\int_0^2\rho^2d\rho\int_0^\pi\sin\theta d\theta=\frac {16} 3
$$
Questo è quanto, trattato un po' in generale senza troppo rigore, con le coordinate polari o simili non ci sono problemi, devi stare attento a sostituzioni particolari che devono essere invertibili, e gli insiemi devono essere regolari più un paio di altre ipotesi di continuità, se è il caso ne parliamo nel dettaglio però ti consiglio di leggere il teorema su un libro di testo.
Spero di esserti stato utile( e di non aver fatto errori barbini
)
Non ti resta altro che fare una sostituzione, cioè trasformare l'integrale in coordinate cartesiane in un integrale in coordinate polari.
La trasformazione in coordinate polari è una funzione $f:\R^2\to\R^2$ ed è la seguente che sicuramente conosci :
$$
f(\rho,\theta)=\binom{\rho \cos\theta}{\rho\sin\theta}
$$
in termini visti più di frequente stiamo dicendo che $x=\rho \cos\theta$ e $y=\rho\sin\theta$ , a cosa ci è servito scrivere la trasformazione ? Ci è servito perché così possiamo calcolare il modulo del determinante jacobiano ovvero:
$$
|\det(J(\rho,\theta))|=\left|\det\begin{bmatrix}\frac{\partial x}{\partial \rho} & \frac{\partial y}{\partial \rho}\\ \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \theta}\end{bmatrix}\right|=\rho
$$
Perché facciamo tutto ciò? lo facciamo perché si dimostra (teorema di sostituzione mi pare si chiami) che in un integrale multiplo posso sostituire le mie variabili ( ad esempio $x$ ed $y$ con altre, proprio come si è sempre fatto con gli integrali singoli) a patto di moltiplicare il tutto per il valore assoluto del determinate jacobiano. Più rigorosamente (ma non troppo) sto dicendo che:
Sia $g(x,y):\R^2\to \R$ e sia $h(\alpha,\beta):\R^2\to \R$ entrambe differenziabili, tali che esista una trasformazione differenziabile ed invertibile $f(\alpha,beta):\R^2\to \R^2$ per cui vale che $h(\alpha,\beta)= g(x,y)\circ f(\alpha,\beta)$ allora se il modulo del determinante jacobiano della trasformazione (che per comodità indichiamo semplicemente con $J$) è diverso da zero allora vale la seguente uguaglianza:
$$
\int\int_C g(x,y)dxdy=\int\int_C h(\alpha,\beta) J d\alpha d\beta
$$
Poi ci sarebbero anche delle ipotesi di regolarità sui domini però vai a leggerti il teorema e ti risolvi ogni dubbio.
Come applichiamo questo all'esercizio?
Beh $J=\rho$ e l'abbiamo calcolato prima, poiché $g(x,y)=y$ allora $h(\alpha,\beta)=h(\rho,\theta)=g(x,y)\circ f(\rho,\theta)=g(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)=\rho \sin \theta$ ed è la nostra funzione in coordinate polari.
Quindi il nostro integrale in coordinate polari diventa:
$$
\int\int_C\rho\sin\theta \rho d\rho d\theta =\int\int_C\rho^2\sin\theta d\rho d\theta
$$
Ora mettiamo gli estremi che abbiamo trovato in precedenza e diventa
$$
\int_0^2d\rho\int_0^\pi\rho^2\sin\theta \rho d\theta =\int_0^2\rho^2d\rho\int_0^\pi\sin\theta d\theta=\frac {16} 3
$$
Questo è quanto, trattato un po' in generale senza troppo rigore, con le coordinate polari o simili non ci sono problemi, devi stare attento a sostituzioni particolari che devono essere invertibili, e gli insiemi devono essere regolari più un paio di altre ipotesi di continuità, se è il caso ne parliamo nel dettaglio però ti consiglio di leggere il teorema su un libro di testo.
Spero di esserti stato utile( e di non aver fatto errori barbini
)
Si ok grazie, l'unica cosa che non mi è abbastanza chiara, è perchè $rho$ è uguale a $x^2+y^2$ 
Ci credo che non ti è chiaro! perché è sbagliato !(ecco l'errore barbino XD) !
$$
\rho=\sqrt{x^2+y^2}
$$
$$
\rho=\sqrt{x^2+y^2}
$$
Neanche mi trovo, nel senso che non ho idea da dove lo ricavi :/
Lo ricavo in decine di modi (beh forse non proprio decine)...
Tanto per cominciare, il teorema di Pitagora?
Il prodotto scalare euclideo di un vettore con se stesso ? (ovvero il modulo di un vettore)
la definizione stessa di coordinate polari?
l'equazione della circonferenza? ( o meglio scritto così l'arco di circonferenza superiore)
E non me ne vengono in mente altre ma penso ve ne siano...
Quale fra quelle che ho citato vuoi che ti illustri ?
Tanto per cominciare, il teorema di Pitagora?
Il prodotto scalare euclideo di un vettore con se stesso ? (ovvero il modulo di un vettore)
la definizione stessa di coordinate polari?
l'equazione della circonferenza? ( o meglio scritto così l'arco di circonferenza superiore)
E non me ne vengono in mente altre ma penso ve ne siano...
Quale fra quelle che ho citato vuoi che ti illustri ?
Quale ti fa più comodo 
La rappresentazione in coordinate polari di un punto del piano ti dice che posso identificare un punto sapendo la sua distanza dall'origine e sapendo l'angolo spaziato fra la semiretta positiva delle ascisse e la semiretta che congiunge l'origine col punto.
Chiamo tale angolo $\theta$ e la distanza del punto dall'origine $\rho$.
A questo punto quanto vale la distanza di un punto dall'origine se conosco le coordinate $(x,y)$ del punto?
E qui via di fantasia!
Puoi disegnare un cerchio centrato nell'origine tale per cui il tuo punto stia sulla circonferenza, e quindi il tuo punto soddisfa l'equazione della circonferenza, ma l'equazione della circonferenza è $R^2=x^2+y^2$ con $R$ raggio del cerchio, ma il raggio del cerchio è proprio la distanza di un punto della circonferenza dall'origine, quindi $\rho=R$ e poi devi solo fare la radice a destra e sinistra!
Oppure, puoi disegnare un triangolo rettangolo, con ipotenusa il segmento congiungente il punto con l'origine (facendo così possono venirti fuori due triangoli rettangoli diversi ma vanno bene entrambi) i cateti del triangolo saranno lunghi uno $x$ ed uno $y$ e lo vedi immediatamente dal disegno che è così, chiami l'ipotenusa $\rho$ perché l'ipotenusa è la distanza del punto dall'origine, e il teorema di Pitagora ti garantisce che la somma dei quadrati costruiti sui cateti è uguale al quadrato costruito sull'ipotenusa quindi $\rho^2=x^2+y^2$ fai la radice ed ottieni $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$ (la radice negativa non ti interessa perché $\rho$ è una distanza non una coordinata quindi non può essere negativa una distanza).
Ma possiamo andare avanti sempre per il teorema di Pitagora la distanza fra due punti $(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$ è definita come $\rho=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ adesso se $(x_1,y_1)=(x,y)$ e $(x_2,y_2)=(0,0)$ ottieni di nuovo $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$ .
Continuiamo ancora! la trasformazione in coordinate polari ti dice che $x=\rho\cos\theta$ e $y=\rho\sin\theta$ allora cosa facciamo li eleviamo al quadrato e li sommiamo e li mettiamo sotto radice e vediamo un po' cosa succede ! Quindi:
$$
\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(\rho\cos\theta)^2+(\rho\sin\theta)^2}=\sqrt{\rho^2\cos^2\theta+\rho^2\sin^2\theta}=\sqrt{\rho^2\left(\cos^2\theta+\sin^2\theta\right)}=\rho\sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta}
$$
Ma come è ben più che noto $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ per qualunque angolo ! quindi $\sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta}=1$ per cui :
$$
\sqrt{x^2+y^2}=\rho*1=\rho
$$
E potremmo continuare ancora e ancora, però devo ammettere il mio stupore, perché mi pare IMPOSSIBILE che chiunque arrivi a studiare gli integrali multipli senza sapere il teorema di Pitagora... secondo me hai battuto la testa e te lo sei dimenticato... perché è troppo assurda come cosa...
Chiamo tale angolo $\theta$ e la distanza del punto dall'origine $\rho$.
A questo punto quanto vale la distanza di un punto dall'origine se conosco le coordinate $(x,y)$ del punto?
E qui via di fantasia!
Puoi disegnare un cerchio centrato nell'origine tale per cui il tuo punto stia sulla circonferenza, e quindi il tuo punto soddisfa l'equazione della circonferenza, ma l'equazione della circonferenza è $R^2=x^2+y^2$ con $R$ raggio del cerchio, ma il raggio del cerchio è proprio la distanza di un punto della circonferenza dall'origine, quindi $\rho=R$ e poi devi solo fare la radice a destra e sinistra!
Oppure, puoi disegnare un triangolo rettangolo, con ipotenusa il segmento congiungente il punto con l'origine (facendo così possono venirti fuori due triangoli rettangoli diversi ma vanno bene entrambi) i cateti del triangolo saranno lunghi uno $x$ ed uno $y$ e lo vedi immediatamente dal disegno che è così, chiami l'ipotenusa $\rho$ perché l'ipotenusa è la distanza del punto dall'origine, e il teorema di Pitagora ti garantisce che la somma dei quadrati costruiti sui cateti è uguale al quadrato costruito sull'ipotenusa quindi $\rho^2=x^2+y^2$ fai la radice ed ottieni $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$ (la radice negativa non ti interessa perché $\rho$ è una distanza non una coordinata quindi non può essere negativa una distanza).
Ma possiamo andare avanti sempre per il teorema di Pitagora la distanza fra due punti $(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$ è definita come $\rho=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ adesso se $(x_1,y_1)=(x,y)$ e $(x_2,y_2)=(0,0)$ ottieni di nuovo $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$ .
Continuiamo ancora! la trasformazione in coordinate polari ti dice che $x=\rho\cos\theta$ e $y=\rho\sin\theta$ allora cosa facciamo li eleviamo al quadrato e li sommiamo e li mettiamo sotto radice e vediamo un po' cosa succede ! Quindi:
$$
\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(\rho\cos\theta)^2+(\rho\sin\theta)^2}=\sqrt{\rho^2\cos^2\theta+\rho^2\sin^2\theta}=\sqrt{\rho^2\left(\cos^2\theta+\sin^2\theta\right)}=\rho\sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta}
$$
Ma come è ben più che noto $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ per qualunque angolo ! quindi $\sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta}=1$ per cui :
$$
\sqrt{x^2+y^2}=\rho*1=\rho
$$
E potremmo continuare ancora e ancora, però devo ammettere il mio stupore, perché mi pare IMPOSSIBILE che chiunque arrivi a studiare gli integrali multipli senza sapere il teorema di Pitagora... secondo me hai battuto la testa e te lo sei dimenticato... perché è troppo assurda come cosa...
Grazieee, si conosco il teorema di Pitagora, infatti ora mi è tutto ovvio. Grazie ancora
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