Integrale doppio in coordinate polari

[zardo1992]

Qualcuno mi può dare una mano nel risolvere questo integrale doppio?
$\int\int_{D}xy + x^2, D = {(x,y): x^2+y^2\le 2}$

Non riesco a trovare l'insieme di definizione dell'angolo theta delle coordinate polari e della $\rho$.
Come mi devo comportare?

[Noisemaker]

Passando in coordinate polari hai che $x=\rho \cos\vartheta,\quad y=\rho\sin\vartheta$ con $\rho\in[0;\sqrt2]$ e $\vartheta\in[0;2\pi]:$
\begin{align}
\iint_{D}xy+x^2&=\int_{\rho=0}^{\sqrt2}\int_{\vartheta=0}^{2\pi}\rho\left(\rho^2 \sin\vartheta \cos\vartheta+ \rho^2 \cos^2\vartheta\right)\,\,d\rho d\vartheta\\
&=\int_{\rho=0}^{\sqrt2}\int_{\vartheta=0}^{2\pi} \rho^3 \sin\vartheta \cos\vartheta\,\,d\rho d\vartheta+ \int_{\rho=0}^{\sqrt2}\int_{\vartheta=0}^{2\pi} \rho^3 \cos^2\vartheta \,\,d\rho d\vartheta\\
&=\int_{\rho=0}^{\sqrt2} \rho^3\,\,d\rho\int_{\vartheta=0}^{2\pi} \sin\vartheta \cos\vartheta\,\, d\vartheta+ \int_{\rho=0}^{\sqrt2} \rho^3\,\,d\rho\int_{\vartheta=0}^{2\pi} \cos^2\vartheta \,\, d\vartheta
\end{align}

[zardo1992]

"Noisemaker":Passando in coordinate polari hai che $x=\rho \cos\vartheta,\quad y=\rho\sin\vartheta$ con $\rho\in[0;\sqrt2]$ e $\vartheta\in[0;2\pi]:$

Grazie per la risposta,
non capisco comunque come hai fatto a trovare gli intervalli...

[Noisemaker]

be ma $\rho$ varia tra $0$ e $\sqrt2$ perchè devi prendere tutti i punti che stannno dentro il cerchio di centro l'origine e raggio $\sqrt2$ e l'angolo deve fare tutto il giro della circonferenza quindi $\vartheta\in[0;\2pi]$