Integrale doppio improprio con valore assoluto
Salve a tutti. Spero che mi aiuterete a ragionare un pò meglio su questo integrale:
$int int_( RR ^2)^()|xy|e^-{x^2+y^2} \ dx \ dy$
Io ho pensato di utilizzare le coordinate polari quindi pongo
$x=rho*cos theta$ e $y=rho*sin theta$ con $0 <= rho <= oo$ e $0 <=theta <= 2pi$ e l'integrale diventa:
$int int_(A)^()|rho^2 sin theta cos theta |e^{-rho^2} rho \ d rho \ d theta$
Adesso il problema è risolverlo... io l'ho risolto ma non mi esce il risultato che è sul libro. Forse questo deriva dal fatto che c'è il valore assoluto! Adesso faccio vedere come l' ho svolto:
$int int_(A)^()|rho^2 sin theta cos theta |e^{-rho^2} rho \ d rho \ d theta$ = $int_(0)^(2pi) |cos theta sin theta| \ d theta int_(0)^(oo) rho^3 e^{-rho^2} \d rho $
Possiamo svolgere $int_(0)^(2pi) |cos theta sin theta| \ d theta$ in due modi a mio avviso.... o scriviamo che $ |sin theta cos theta| = 1/2 |sin 2theta|$ e svolgiamo quindi l'integrale $1/2int_(0)^(2pi) sin 2 theta\ d theta = 1/2 [ -1/2cos 2 theta ]$ tra $2pi$ e $0$. Oppure possiamo scrivere che $int_(0)^(2pi) sin theta cos theta\ d theta = (sin theta)^2/2$ sempre tra $2pi$ e $0$.
In tutti e due i casi mi si dovrebbe annullare e quindi mi rimane
$2pi int_(0)^(oo ) rho^3 e^{-rho^2}\ d rho$ che svolto per parti mi da
$-1/2e^{-rho^2}rho^2 - 1/2e^{-rho^2}$ e quindi
$2pi[-1/2e^{-rho^2}( rho^2 +1)]$ tra $oo$ e $0$. Arrivato qui mi sembra ovvio che il risultato è 0 ma secondo il libro non è così... help me! Sospetto fortemente che il mio errore deriva dal fatto che $ rho^2 sin theta cos theta$ è in valore assoluto!!
$int int_( RR ^2)^()|xy|e^-{x^2+y^2} \ dx \ dy$
Io ho pensato di utilizzare le coordinate polari quindi pongo
$x=rho*cos theta$ e $y=rho*sin theta$ con $0 <= rho <= oo$ e $0 <=theta <= 2pi$ e l'integrale diventa:
$int int_(A)^()|rho^2 sin theta cos theta |e^{-rho^2} rho \ d rho \ d theta$
Adesso il problema è risolverlo... io l'ho risolto ma non mi esce il risultato che è sul libro. Forse questo deriva dal fatto che c'è il valore assoluto! Adesso faccio vedere come l' ho svolto:
$int int_(A)^()|rho^2 sin theta cos theta |e^{-rho^2} rho \ d rho \ d theta$ = $int_(0)^(2pi) |cos theta sin theta| \ d theta int_(0)^(oo) rho^3 e^{-rho^2} \d rho $
Possiamo svolgere $int_(0)^(2pi) |cos theta sin theta| \ d theta$ in due modi a mio avviso.... o scriviamo che $ |sin theta cos theta| = 1/2 |sin 2theta|$ e svolgiamo quindi l'integrale $1/2int_(0)^(2pi) sin 2 theta\ d theta = 1/2 [ -1/2cos 2 theta ]$ tra $2pi$ e $0$. Oppure possiamo scrivere che $int_(0)^(2pi) sin theta cos theta\ d theta = (sin theta)^2/2$ sempre tra $2pi$ e $0$.
In tutti e due i casi mi si dovrebbe annullare e quindi mi rimane
$2pi int_(0)^(oo ) rho^3 e^{-rho^2}\ d rho$ che svolto per parti mi da
$-1/2e^{-rho^2}rho^2 - 1/2e^{-rho^2}$ e quindi
$2pi[-1/2e^{-rho^2}( rho^2 +1)]$ tra $oo$ e $0$. Arrivato qui mi sembra ovvio che il risultato è 0 ma secondo il libro non è così... help me! Sospetto fortemente che il mio errore deriva dal fatto che $ rho^2 sin theta cos theta$ è in valore assoluto!!
Risposte
L'integrale si spezza nel prodotto dei due integrali
$\int_0^{2\pi} 1/2|\sin(2\theta)|\ d\theta\cdot\int_0^{+\infty} \rho^3 e^{-\rho^2}\ d\rho$
Quello che sbagli è il calcolo del primo integrale: essendoci il valore assoluto, devi spezzare l'integrale sui due insiemi dove $\sin(2\theta)$ risulta positivo e negativo. Poiché $\sin(2\theta)\ge 0$ quando $0\le\theta\le \pi/2,\ \pi\le\theta\le {3\pi}/2$, segue che
$\int_0^{2\pi}|\sin(2\theta)|\ d\theta=\int_0^{\pi/2} \sin(2\theta)\ d\theta+\int_{\pi/2}^{\pi} -\sin(2\theta)\ d\theta+\int_\pi^{3\pi/2} \sin(2\theta)\ d\theta+\int_{3\pi/2}^{2\pi} -\sin(2\theta)\ d\theta$
$\int_0^{2\pi} 1/2|\sin(2\theta)|\ d\theta\cdot\int_0^{+\infty} \rho^3 e^{-\rho^2}\ d\rho$
Quello che sbagli è il calcolo del primo integrale: essendoci il valore assoluto, devi spezzare l'integrale sui due insiemi dove $\sin(2\theta)$ risulta positivo e negativo. Poiché $\sin(2\theta)\ge 0$ quando $0\le\theta\le \pi/2,\ \pi\le\theta\le {3\pi}/2$, segue che
$\int_0^{2\pi}|\sin(2\theta)|\ d\theta=\int_0^{\pi/2} \sin(2\theta)\ d\theta+\int_{\pi/2}^{\pi} -\sin(2\theta)\ d\theta+\int_\pi^{3\pi/2} \sin(2\theta)\ d\theta+\int_{3\pi/2}^{2\pi} -\sin(2\theta)\ d\theta$
mmm bene... quindi il primo integrale dovrebbe risultare $2$ e il secondo se è giusto come ho scritto prima dovrebbe essere uguale a $0$ facendo si che il risultato finale sia dunque $0$. Ma il libro dice che il risultato è $1$
Non può essere 0 il risultato visto che l'integranda è positiva.
Se vuoi quell'integrale lo puoi calcolare direttamente senza passare in coordinate polari.
Ti puoi infatti ricondurre ad un integrale della forma:
$int_0^(infty)2x e^-(x^2)dx$
Se vuoi quell'integrale lo puoi calcolare direttamente senza passare in coordinate polari.
Ti puoi infatti ricondurre ad un integrale della forma:
$int_0^(infty)2x e^-(x^2)dx$
scusatemi mi sono dimenticato di andare a sostituire $0$ a quello che esce dal secondo integrale... avevo fatto solo il
$lim_(rho -> oo ) -1/2e^{-rho^2} (rho^2 + 1)$ e giustamente mi veniva $0$... mi ero dimenticato di sottrarci il valore che usciva andandoci a sostuire $0$!! Dunque alla fine mi viene $2 * 1/2 = 1$! Quanti errori di distrazione
$lim_(rho -> oo ) -1/2e^{-rho^2} (rho^2 + 1)$ e giustamente mi veniva $0$... mi ero dimenticato di sottrarci il valore che usciva andandoci a sostuire $0$!! Dunque alla fine mi viene $2 * 1/2 = 1$! Quanti errori di distrazione
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