Integrale doppio improprio
$ int int_(D)^() e^(-4x^2-y^2)dx dy $
dove D è la regione (illimitata) di spazio compresa fra le rette y=0 e y=2x.
Tale esercizio non è molto diverso da quest'altro che ho trovato in una dispensa:
$ int int_(E)^() e^(-x^2-y^2)dx dy $
dove E è un cerchio illimitato (raggio infinito) centrato nell'origine, formalmente esprimibile come l'insieme dei punti (x,y) tali che $ x^2+y^2+oo $ .
Passando alle coordinate polari, abbiamo $ 2piint_(0)^(n) pe^(-p^2) dp=pi(1-e^(-n^2))->pi $ .
Nel mio caso, però, la situazione è più articolata:
passando alle polari, avremmo:
$ x=pcosvartheta , y=psenvartheta $ quindi $ 0
$ 0
nel terzo e nel quarto non possiamo lavorare (prima disequazione), mentre nel secondo quadrante il seno è positivo mentre il coseno è negativo, quindi la seconda disequazione ivi non può essere vera.
$ senvartheta =2cosvartheta " per " vartheta =1.1 (63°) $ .
Quindi il dominio di integrazione in coordinate polari è:
$ 0oo $ .
Dunque l'integrale ora è:
$ int int_(D)^() pe^(-p^2)e^(-3p^2cos^2vartheta )dp dvartheta $ .
Separando le integrazioni sulle due variabili:
$ int_(2pin)^(2pin+1.1) dvartheta int_(0)^(n) dp*p*e^(-p^2-3p^2cos^2vartheta ) $
e, integrando in dp e sostituendo gli estremi, trovo:
$ int_(2pin)^(2pin+1.1) dvartheta (1-e^(-3n^2cos^2vartheta -n^2))/(6cos^2vartheta +2) $
che, considerando che l'esponenziale tende uniformemente a 0 per n infinito,
e che per qualsiasi n gli estremi sono equivalenti a quelli presi sul primo periodo, diventa:
$ int_(0)^(1.1) (dvartheta )/(6cos^2vartheta +2)=0.2 $
La risoluzione è corretta?
Inoltre: è la più intelligente possibile? Lo chiedo perchè i due integrali, in particolare l'ultimo, che ho dovuto risolvere, mi sono sembrati davvero troppo complicati per essere la via risolutiva migliore.
dove D è la regione (illimitata) di spazio compresa fra le rette y=0 e y=2x.
Tale esercizio non è molto diverso da quest'altro che ho trovato in una dispensa:
$ int int_(E)^() e^(-x^2-y^2)dx dy $
dove E è un cerchio illimitato (raggio infinito) centrato nell'origine, formalmente esprimibile come l'insieme dei punti (x,y) tali che $ x^2+y^2
Passando alle coordinate polari, abbiamo $ 2piint_(0)^(n) pe^(-p^2) dp=pi(1-e^(-n^2))->pi $ .
Nel mio caso, però, la situazione è più articolata:
passando alle polari, avremmo:
$ x=pcosvartheta , y=psenvartheta $ quindi $ 0
$ 0
nel terzo e nel quarto non possiamo lavorare (prima disequazione), mentre nel secondo quadrante il seno è positivo mentre il coseno è negativo, quindi la seconda disequazione ivi non può essere vera.
$ senvartheta =2cosvartheta " per " vartheta =1.1 (63°) $ .
Quindi il dominio di integrazione in coordinate polari è:
$ 0
Dunque l'integrale ora è:
$ int int_(D)^() pe^(-p^2)e^(-3p^2cos^2vartheta )dp dvartheta $ .
Separando le integrazioni sulle due variabili:
$ int_(2pin)^(2pin+1.1) dvartheta int_(0)^(n) dp*p*e^(-p^2-3p^2cos^2vartheta ) $
e, integrando in dp e sostituendo gli estremi, trovo:
$ int_(2pin)^(2pin+1.1) dvartheta (1-e^(-3n^2cos^2vartheta -n^2))/(6cos^2vartheta +2) $
che, considerando che l'esponenziale tende uniformemente a 0 per n infinito,
e che per qualsiasi n gli estremi sono equivalenti a quelli presi sul primo periodo, diventa:
$ int_(0)^(1.1) (dvartheta )/(6cos^2vartheta +2)=0.2 $
La risoluzione è corretta?
Inoltre: è la più intelligente possibile? Lo chiedo perchè i due integrali, in particolare l'ultimo, che ho dovuto risolvere, mi sono sembrati davvero troppo complicati per essere la via risolutiva migliore.
Risposte
Ciao SalvatCpo,
Sicuro che convenga il passaggio alle coordinate polari? Nel primo esercizio proposto convengono, ma qui...
Nel dominio $D$ ho capito che $0 < y < 2x $, ma è $x \in (0, +\infty) $ o $x \in (-infty, +infty)$?
Conosci per caso il risultato dell'integrale doppio proposto?
Sicuro che convenga il passaggio alle coordinate polari? Nel primo esercizio proposto convengono, ma qui...
Nel dominio $D$ ho capito che $0 < y < 2x $, ma è $x \in (0, +\infty) $ o $x \in (-infty, +infty)$?
Conosci per caso il risultato dell'integrale doppio proposto?
Se 0
Comunque ora ho la risposta alla mia domanda.
Ho risolto l'integrale sostituendo u=2x e successivamente riconducendomi al problema semplice di integrare $ 1/2p*e^(-p^2) $ dove 1/2 è il determinante dello jacobiano della prima trasformazione.
Il risultato è $ pi/16=0.2 $ , QUINDI:
la risoluzione da me proposta era corretta MA non era la più veloce perchè con la doppia sostituzione (da x,y a u,y e poi da u,y alle polari) i calcoli sono molto più agevoli.
Comunque ora ho la risposta alla mia domanda.
Ho risolto l'integrale sostituendo u=2x e successivamente riconducendomi al problema semplice di integrare $ 1/2p*e^(-p^2) $ dove 1/2 è il determinante dello jacobiano della prima trasformazione.
Il risultato è $ pi/16=0.2 $ , QUINDI:
la risoluzione da me proposta era corretta MA non era la più veloce perchè con la doppia sostituzione (da x,y a u,y e poi da u,y alle polari) i calcoli sono molto più agevoli.
"SalvatCpo":
la risoluzione da me proposta era corretta MA non era la più veloce
Ti dirò, ne esiste una ancora più veloce, senza sostituzioni...
Comunque il risultato $\pi/16 $ torna anche a me:
$\int_0^{+\infty}\int_0^{2x} e^{-4x^2 - y^2} \text{d}y \text{d}x = \int_0^{+\infty} e^{-4x^2}(\int_0^{2x} e^{- y^2} \text{d}y) \text{d}x = \int_0^{+\infty} e^{-4x^2} sqrt{\pi}/2 \text{erf}(2x) \text{d}x = $
$ = [\pi/16 \text{erf}^2(2x)]_0^{+\infty} = \pi/16 $
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo