Integrale doppio improprio
Salve a tutti, scrivo qui per chiedere aiuto nella risoluzione di un integrale doppio improprio.
L'integrale è questo: \[ \int\int \frac {1} {(x^4+y^2)^\alpha} \text{ d} x \text{ d} y,\] con \( \alpha \in\mathbb{R}\), esteso al dominio \(D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid \frac{x-1}{x}\leq y \leq x, x\geq 1\}\). L'integrale è quindi improprio visto il dominio. In particolare in questo esercizio ho provato a passare alle coordinate polari, utilizzando anche un cambiamento di scala per trasformare l'integranda in \( \frac{1}{\rho^{2\alpha-1}},\) (dopo aver semplificato e portato il \(\rho\) dello jacobiano al denominatore) e rendere quindi semplice confrontarla con i modelli in una variabile, ma a causa del cambiamento di coordinate, dopo aver sostituito quelle nuove nelle condizioni del dominio, non riesco né a calcolare né a trattare i nuovi estremi.
Il mio problema è, oltre alla risoluzione di questo esercizio, sapere quali sono le considerazioni da fare per semplificare l'integrale e ricondurlo ai casi noti in una variabile per studiarne poi la convergenza, specialmente nei casi in cui la trasformazione di coordinate da cartesiane a polari non aiuti.
Sapreste darmi qualche dritta o linea guida generale per la risoluzione di questo tipo di esercizi e magari anche di questo? Grazie in anticipo!
L'integrale è questo: \[ \int\int \frac {1} {(x^4+y^2)^\alpha} \text{ d} x \text{ d} y,\] con \( \alpha \in\mathbb{R}\), esteso al dominio \(D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid \frac{x-1}{x}\leq y \leq x, x\geq 1\}\). L'integrale è quindi improprio visto il dominio. In particolare in questo esercizio ho provato a passare alle coordinate polari, utilizzando anche un cambiamento di scala per trasformare l'integranda in \( \frac{1}{\rho^{2\alpha-1}},\) (dopo aver semplificato e portato il \(\rho\) dello jacobiano al denominatore) e rendere quindi semplice confrontarla con i modelli in una variabile, ma a causa del cambiamento di coordinate, dopo aver sostituito quelle nuove nelle condizioni del dominio, non riesco né a calcolare né a trattare i nuovi estremi.
Il mio problema è, oltre alla risoluzione di questo esercizio, sapere quali sono le considerazioni da fare per semplificare l'integrale e ricondurlo ai casi noti in una variabile per studiarne poi la convergenza, specialmente nei casi in cui la trasformazione di coordinate da cartesiane a polari non aiuti.
Sapreste darmi qualche dritta o linea guida generale per la risoluzione di questo tipo di esercizi e magari anche di questo? Grazie in anticipo!
Risposte
Grazie TeM per la risposta, penso che il tuo ragionamento mi sia abbastanza chiaro, il dubbio che mi resta è questo: da questo integrale \[\iint\limits_D \frac{1}{\left(x^4+y^2\right)^{\alpha}}\,\text{d}x\,\text{dy}\] (\(x\) è elevato alla quarta), esteso al dominio \(D\), io avevo effettuato il cambiamento di coordinate \[\begin{cases} x=\sqrt{u}\\ y=v \end{cases}, \mid J\mid = \frac{1}{2\sqrt{u}}\] per ottenere
\[ \frac{1}{2} \iint\limits_{D^{*}} \frac{1}{ \sqrt{u}(u^2+v^2)^{\alpha}}\,\text{d}u\,\text{d}v \] esteso al nuovo dominio \(D^{*} := \left\{ (u,\,v) \in \mathbb{R}^2 : \sqrt{u} \ge 1, \; \frac{\sqrt{u}-1}{\sqrt{u}} \le v \le \sqrt{u} \right\}\). Successivamente sarei poi passato in coordinate polari ponendo \[\begin{cases} u=\rho\cos{\theta}\\ v=\rho\sin{\theta} \end{cases}, \mid J\mid =\rho\] e quindi: \[ \frac{1}{2} \iint\limits_{D^{*}} \frac{1}{ \sqrt{\cos{\theta}}\rho^{2\alpha - \frac{1}{2}}}\,\text{d}\rho\,\text{d}\theta .\] Con entrambi i cambiamenti di coordinate penso che la funzione integranda si semplifichi in modo da poterne poi studiare la convergenza in modo agevole (resterebbe da studiare solo l'esponente di \(\rho\) giusto?), il punto è che a costo di semplificare l'integranda non riesco poi a determinare i nuovi estremi di integrazione, sia prima che dopo il passaggio alle coordinate polari. Potresti aiutarmi a fare chiarezza su questo punto? Grazie ancora
\[ \frac{1}{2} \iint\limits_{D^{*}} \frac{1}{ \sqrt{u}(u^2+v^2)^{\alpha}}\,\text{d}u\,\text{d}v \] esteso al nuovo dominio \(D^{*} := \left\{ (u,\,v) \in \mathbb{R}^2 : \sqrt{u} \ge 1, \; \frac{\sqrt{u}-1}{\sqrt{u}} \le v \le \sqrt{u} \right\}\). Successivamente sarei poi passato in coordinate polari ponendo \[\begin{cases} u=\rho\cos{\theta}\\ v=\rho\sin{\theta} \end{cases}, \mid J\mid =\rho\] e quindi: \[ \frac{1}{2} \iint\limits_{D^{*}} \frac{1}{ \sqrt{\cos{\theta}}\rho^{2\alpha - \frac{1}{2}}}\,\text{d}\rho\,\text{d}\theta .\] Con entrambi i cambiamenti di coordinate penso che la funzione integranda si semplifichi in modo da poterne poi studiare la convergenza in modo agevole (resterebbe da studiare solo l'esponente di \(\rho\) giusto?), il punto è che a costo di semplificare l'integranda non riesco poi a determinare i nuovi estremi di integrazione, sia prima che dopo il passaggio alle coordinate polari. Potresti aiutarmi a fare chiarezza su questo punto? Grazie ancora
La tua soluzione mi è chiara, molto probabilmente l'utilizzo delle maggiorazioni per studiare la convergenza/divergenza di quell'integrale è l'unica strada percorribile. Nonostante ciò non capisco come sei arrivato a scegliere \(\alpha = \frac{1}{2}\).
Hai provato prima altri valori di \(\alpha\), oppure si può determinare per quali valori del parametro l'integrale converge da una condizione su \(\alpha\)? Perdonami l'insistenza ma penso a casi in cui la condizione per la convergenza dell'integrale mi è risultata per esempio \(\alpha < \frac{5}{4}\) o altri valori simili. Provare i valori \(0\) e \(1\) sembra comunque una buona idea ma se questi non dovessero aiutare non saprei cosa fare.
Grazie ancora per l'attenzione!
Hai provato prima altri valori di \(\alpha\), oppure si può determinare per quali valori del parametro l'integrale converge da una condizione su \(\alpha\)? Perdonami l'insistenza ma penso a casi in cui la condizione per la convergenza dell'integrale mi è risultata per esempio \(\alpha < \frac{5}{4}\) o altri valori simili. Provare i valori \(0\) e \(1\) sembra comunque una buona idea ma se questi non dovessero aiutare non saprei cosa fare.
Grazie ancora per l'attenzione!
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