Integrale doppio improprio
Salve a tutti, sono nuovo! Sto riscontrando problemi nella risoluzione del seguente integrale doppio:
$ int int_(D)^() (2y)/(x^2+2)dx dy $
dove $ D= { (x,y) in R^2 | x>=1, 0<=y<=3, xy<=9 , x^2+y^2>=9} $
Passando alle coordinate polari con polo (0,0) e analizzando il grafico ricavo che:
$ 0<=vartheta<= arctan(3) $
mentre su $ rho $, che deve stare fuori dalla circonferenza e sotto il ramo d'iperbole, sostituendo le coordinate polari ottengo:
da $ x^2+y^2>=9 $ ricavo $ 0>=rho >=3 $
da $ xy<=9 $ ricavo $ rho ^2<= 9/(sinvartheta *cosvartheta $
ma in 0, valore che $ vartheta $ può assumere, la frazione non ha senso. Come dovrei comportarmi?
$ int int_(D)^() (2y)/(x^2+2)dx dy $
dove $ D= { (x,y) in R^2 | x>=1, 0<=y<=3, xy<=9 , x^2+y^2>=9} $
Passando alle coordinate polari con polo (0,0) e analizzando il grafico ricavo che:
$ 0<=vartheta<= arctan(3) $
mentre su $ rho $, che deve stare fuori dalla circonferenza e sotto il ramo d'iperbole, sostituendo le coordinate polari ottengo:
da $ x^2+y^2>=9 $ ricavo $ 0>=rho >=3 $
da $ xy<=9 $ ricavo $ rho ^2<= 9/(sinvartheta *cosvartheta $
ma in 0, valore che $ vartheta $ può assumere, la frazione non ha senso. Come dovrei comportarmi?
Risposte
Perché passare a coordinate polari? A me sembra che le coordinate cartesiane siano più che sufficienti. Il dominio, almeno da come è scritto, risulta infinito (è una fascia esterna alla circonferenza e sotto l'iperbole) che si può spezzare in due parti:
$$D_1=\{1\le x\le 3,\ \sqrt{9-x^2}\le y\le 3\},\qquad D_2=\{x\ge 3,\ 0\le y\le 9/x\}$$
Per cui
$$\int_1^3\int_{\sqrt{9-x^2}}^3\frac{y}{x^2+2}\ dy\ dx+\int_3^\infty\int_0^{9/x}\frac{y}{x^2+2}\ dy\ dx=\\ \int_1^3\frac{1}{x^2+2}\left[\frac{y^2}{2}\right]_{\sqrt{9-x^2}}^3\ dx+\int_3^\infty\frac{1}{x^2+2}\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^{9/x}\ dx=\\ \frac{1}{2}\int_1^3\frac{-x^2}{x^2+2}\ dx+\frac{1}{2}\int_3^\infty\frac{81}{x^2(x^2+2)}\ dx$$
Questi ultimi due integrali sono abbastanza immediati e il secondo risulta finito (visto che si sta integrando ad infinito un infinitesimo di ordine 4).
$$D_1=\{1\le x\le 3,\ \sqrt{9-x^2}\le y\le 3\},\qquad D_2=\{x\ge 3,\ 0\le y\le 9/x\}$$
Per cui
$$\int_1^3\int_{\sqrt{9-x^2}}^3\frac{y}{x^2+2}\ dy\ dx+\int_3^\infty\int_0^{9/x}\frac{y}{x^2+2}\ dy\ dx=\\ \int_1^3\frac{1}{x^2+2}\left[\frac{y^2}{2}\right]_{\sqrt{9-x^2}}^3\ dx+\int_3^\infty\frac{1}{x^2+2}\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^{9/x}\ dx=\\ \frac{1}{2}\int_1^3\frac{-x^2}{x^2+2}\ dx+\frac{1}{2}\int_3^\infty\frac{81}{x^2(x^2+2)}\ dx$$
Questi ultimi due integrali sono abbastanza immediati e il secondo risulta finito (visto che si sta integrando ad infinito un infinitesimo di ordine 4).
Ho capito, grazie mille!:) In genere quando ho circonferenze o ellissi passo alle polari per semplificare il calcolo dell'integrale. Come posso rendermi conto quando le cartesiane sono sufficienti?
Le coordinate polari sono comode se hai "tutti" oggetti con simmetria sferica. Ma qui la cosa non è di molta utilità. Inoltre, se proprio vuoi usarle, dovresti notare che le condizioni per il dominio risultano
$$\rho\cos\theta\ge 1,\ 0\le\rho\sin\theta\le 3,\ \rho^2\cos\theta\sin\theta\le 9,\ \rho^2\ge 3$$
Ora, un tale insieme di condizioni, ti fa capire che la scelta dei valori entro cui far variare $\rho,\ \theta$ non è affatto semplice. Ragionandoci un po', arrivi a poter dire quali sono le limitazioni, ma ti assicuro che 1) è una cosa lunga, 2) è di poca utilità, dal momento che la funzione da integrare, piuttosto che semplificarsi, si complica.
$$\rho\cos\theta\ge 1,\ 0\le\rho\sin\theta\le 3,\ \rho^2\cos\theta\sin\theta\le 9,\ \rho^2\ge 3$$
Ora, un tale insieme di condizioni, ti fa capire che la scelta dei valori entro cui far variare $\rho,\ \theta$ non è affatto semplice. Ragionandoci un po', arrivi a poter dire quali sono le limitazioni, ma ti assicuro che 1) è una cosa lunga, 2) è di poca utilità, dal momento che la funzione da integrare, piuttosto che semplificarsi, si complica.
Grazie ancora! Farò tesoro dei tuoi suggerimenti;)
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