Integrale Doppio, Grafico e coordinate polari !!!
$ int(x-1)/(y^2+(x-1)^2) dx dy $
Salve ho questo integrale doppio avente il seguente dominio :
$ 0 <=x<=2 ,0<=y<=sqrt 3(x-1), y^2+(x-1)^2">=1 $
ho disegnato il grafico:
il dominio sarebbe quel piccolo triangolino sopra alla circonferenza. Ora in base a ciò, posso semplificare gli estremi di integrazione? è possibile utilizzare le coordinate polari in questo caso?
semplificando gli estremi ho ottenuto: $ sqrt3/2 <=x<=2 ,sqrt(2x-x^2)<=y<=sqrt3(x-1) $
ma svolgendo poi l'integrale ottengo qualcosa di troppo complicato.
Vorrei un piccolo aiutino. Grazie mille sono nuovo =).
Salve ho questo integrale doppio avente il seguente dominio :
$ 0 <=x<=2 ,0<=y<=sqrt 3(x-1), y^2+(x-1)^2">=1 $
ho disegnato il grafico:
il dominio sarebbe quel piccolo triangolino sopra alla circonferenza. Ora in base a ciò, posso semplificare gli estremi di integrazione? è possibile utilizzare le coordinate polari in questo caso?
semplificando gli estremi ho ottenuto: $ sqrt3/2 <=x<=2 ,sqrt(2x-x^2)<=y<=sqrt3(x-1) $
ma svolgendo poi l'integrale ottengo qualcosa di troppo complicato.
Vorrei un piccolo aiutino. Grazie mille sono nuovo =).
Risposte
Benvenuto/a! Credo manchi un quadrato su $(x-1)$ nell'insieme che hai scritto all'inizio.
Sicuro per il valore della $x$ dell'estremo di sinistra? A me risulta $\frac{3}{2} \leq x \leq 2$; te lo dico giusto per non farti fare milioni di calcoli a caso e poi magari il problema è anche lì.
Comunque io rimarrei in cartesiane: non è troppo orribile ciò che viene, un po' palloso ma si fa.
In polari non ne vedo troppo il vantaggio, ma non sono esperto e quindi potrebbe essere conveniente aspettare altri pareri
Sicuro per il valore della $x$ dell'estremo di sinistra? A me risulta $\frac{3}{2} \leq x \leq 2$; te lo dico giusto per non farti fare milioni di calcoli a caso e poi magari il problema è anche lì.
Comunque io rimarrei in cartesiane: non è troppo orribile ciò che viene, un po' palloso ma si fa.
In polari non ne vedo troppo il vantaggio, ma non sono esperto e quindi potrebbe essere conveniente aspettare altri pareri
Scusami, Ho fatto la modifica, ma dato che sono nuovo non credevo fosse necessaria una nuova approvazione da parte del moderatore. Comunque si mi trovo con i tuoi estremi della x. sul foglio è sbagliato.
Ottimo! Prova a farlo in cartesiane come insieme normale (o semplice) rispetto all'asse $x$, dovrebbe venirti fattibile.
Se dovessi avere altri dubbi su questo tipo di risoluzione chiedi pure, altrimenti attendi altri interventi
Se dovessi avere altri dubbi su questo tipo di risoluzione chiedi pure, altrimenti attendi altri interventi
Io avevo scritto una risposta con le coordinate polari, ma il thread era sparito, e il sistema non me l'ha lasciata pubblicare. Domani vedo se la ritrovo sul computer dell'ufficio. Ma cosa è successo? Avevi cancellato il messaggio originale?
"dissonance":
Io avevo scritto una risposta con le coordinate polari, ma il thread era sparito, e il sistema non me l'ha lasciata pubblicare. Domani vedo se la ritrovo sul computer dell'ufficio. Ma cosa è successo? Avevi cancellato il messaggio originale?
Si, scusami avevo apportato una modifica e aspettavo l'approvazione, inoltre non mi è concesso ancora di inviare messaggi. Scusami ancora. Allora, io ho provato a svolgerlo normalmente,in coordinate cartesiane ma integrando rispetto ad x e poi y il risultato presenta l'incognita x. Volevo ottenere un risultato,diciamo, pulito cosa che non ottengo in questo modo. gli estremi di integrazione dy purtroppo sono una curva e una retta.
Per quanto riguarda le coordinate polari ,si ,mi servirebbe una mano, si tratta di una circonferenza traslata, che presenta però l'area del dominio esternamente ad essa, quindi non posso considerare il raggio della circonferenza interamente poichè non rientra nel dominio. La mia difficoltà in coord. polari è trovare gli estremi di integrazione. Grazie ragazzi.
"mandraculaita1":
Allora, io ho provato a svolgerlo normalmente,in coordinate cartesiane ma integrando rispetto ad x e poi y il risultato presenta l'incognita x. Volevo ottenere un risultato,diciamo, pulito cosa che non ottengo in questo modo. gli estremi di integrazione dy purtroppo sono una curva e una retta.
Non so se è un errore di trascrizione o concettuale, ma (se lo fai in cartesiane) per come hai scritto l'insieme devi integrare prima in $y$ e poi in $x$; alla fine ti deve rimanere un numero, perciò se fai il contrario hai che rimarrà una dipendenza da una variabile.
In tal caso è normale che ti vengano come estremi di integrazione delle funzioni: è proprio quello che dice il teorema di Fubini.
Non so se in polari ti andrà in un rettangolo e quindi, come dici tu, avrai degli "estremi puliti" (penso intendi solo intervalli numerici). Aspettiamo dissonance per questo
Puoi scrivere per favore una bozza dell'impostazione dell'integrale?
L'ordine di integrazione è dx dy !! Ho scritto tutto meglio nell'immagine sotto =). Questo è come l'ho impostato io.
Assolutamente no. L'ordine di integrazione, con l'insieme scritto così, è
$$\int_{\frac{3}{2}}^{2} \left(\int_{\sqrt{2x-x^2}}^{\sqrt{3}x-\sqrt{3}} \frac{x-1}{y^2+(x-1)^2} \mathrm{d}y \right) \mathrm{d}x$$
Ti consiglio di rivederti il teorema di Fubini/formule di riduzione
$$\int_{\frac{3}{2}}^{2} \left(\int_{\sqrt{2x-x^2}}^{\sqrt{3}x-\sqrt{3}} \frac{x-1}{y^2+(x-1)^2} \mathrm{d}y \right) \mathrm{d}x$$
Ti consiglio di rivederti il teorema di Fubini/formule di riduzione
[Messaggio del 14/11/18]
Se vuoi calcolarlo in coordinate polari, intanto cambia variabile; \(x=X+1, y=Y\). Le condizioni
\[
-1\le X\le 1, \quad 0\le Y\le \sqrt 3 X, \quad X^2+Y^2\ge 1 \]
diventano, con le sostituzioni \(X=r\cos \theta, Y=r\sin \theta\),
\[
-1\le r\cos \theta\le 1, \quad 0\le \sin \theta\le \sqrt 3 \cos \theta,\quad r\ge 1, \]
da cui si ricava che \(\tan \theta\in [0, 3]\), quindi \(\theta\in [0, \pi /3]\) e in particolare il coseno è positivo; perciò, nella prima disuguaglianza si può dividere, ottenendo
\[
\frac{-1}{\cos \theta}\le r\le \frac{1}{\cos \theta}. \]
Ora, la condizione \(\frac{-1}{\cos \theta}\le r\) è superflua, perché \(r\ge 1\). In conclusione, l'insieme assegnato si descrive in coordinate polari come
\[
\{\theta\in [0, \pi/3],\ 1\le r\le 1/\cos \theta\}.\]
[FINE]
Se vuoi calcolarlo in coordinate polari, intanto cambia variabile; \(x=X+1, y=Y\). Le condizioni
\[
-1\le X\le 1, \quad 0\le Y\le \sqrt 3 X, \quad X^2+Y^2\ge 1 \]
diventano, con le sostituzioni \(X=r\cos \theta, Y=r\sin \theta\),
\[
-1\le r\cos \theta\le 1, \quad 0\le \sin \theta\le \sqrt 3 \cos \theta,\quad r\ge 1, \]
da cui si ricava che \(\tan \theta\in [0, 3]\), quindi \(\theta\in [0, \pi /3]\) e in particolare il coseno è positivo; perciò, nella prima disuguaglianza si può dividere, ottenendo
\[
\frac{-1}{\cos \theta}\le r\le \frac{1}{\cos \theta}. \]
Ora, la condizione \(\frac{-1}{\cos \theta}\le r\) è superflua, perché \(r\ge 1\). In conclusione, l'insieme assegnato si descrive in coordinate polari come
\[
\{\theta\in [0, \pi/3],\ 1\le r\le 1/\cos \theta\}.\]
[FINE]
Grazie mille ragazzi !!!
ok, Grazie mille dissonance, un'ultima cosa in questo caso l'integrale va moltiplicato per lo Jacobiano giusto ?
"dissonance":
[Messaggio del 14/11/18]
Se vuoi calcolarlo in coordinate polari, intanto cambia variabile; \(x=X+1, y=Y\). Le condizioni
\[
-1\le X\le 1, \quad 0\le Y\le \sqrt 3 X, \quad X^2+Y^2\ge 1 \]
diventano, con le sostituzioni \(X=r\cos \theta, Y=r\sin \theta\),
\[
-1\le r\cos \theta\le 1, \quad 0\le \sin \theta\le \sqrt 3 \cos \theta,\quad r\ge 1, \]
da cui si ricava che \(\tan \theta\in [0, 3]\), quindi \(\theta\in [0, \pi /3]\) e in particolare il coseno è positivo; perciò, nella prima disuguaglianza si può dividere, ottenendo
\[
\frac{-1}{\cos \theta}\le r\le \frac{1}{\cos \theta}. \]
Ora, la condizione \(\frac{-1}{\cos \theta}\le r\) è superflua, perché \(r\ge 1\). In conclusione, l'insieme assegnato si descrive in coordinate polari come
\[
\{\theta\in [0, \pi/3],\ 1\le r\le 1/\cos \theta\}.\]
[FINE]
ok, Grazie mille dissonance, un'ultima cosa in questo caso l'integrale va moltiplicato per lo Jacobiano giusto ?
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