Integrale doppio generalizzato
Salve a tutti, è la prima volta che scrivo su questo forum, ho bisogno di un aiuto con la risoluzione di questo integrale doppio in senso generalizzato:
$\int int x^2 ln(1-(x^2 + y^2)) dx dy$ Su un $B_R (0)$ intorno di zero di raggio R con R$rarr$1.
Ho provato a riscriverlo in coordinate polari ma nella risoluzione non riesco a liberarmi dell'integrale $\int ln(1- \rho^2)$ che non so risolvere. Avete qualche idea?Ringrazio vivamente tutti quelli che tenteranno di darmi una mano!!
Ciao
$\int int x^2 ln(1-(x^2 + y^2)) dx dy$ Su un $B_R (0)$ intorno di zero di raggio R con R$rarr$1.
Ho provato a riscriverlo in coordinate polari ma nella risoluzione non riesco a liberarmi dell'integrale $\int ln(1- \rho^2)$ che non so risolvere. Avete qualche idea?Ringrazio vivamente tutti quelli che tenteranno di darmi una mano!!
Ciao
Risposte
Così, a occhio, la strada giusta sono proprio le coordinate polari. Il grosso del problema è risolvere $rho^3log(1-rho^2)$, mi pare; e questo integrale lo affronterei per parti (se derivi $log$ ottieni una funzione razionale).
Ciao Dissonance, grazie per la risposta ma ci ho già provato e questo è il risultato:
${\rho^4}/4 ln(1-\rho^2) - \int {\rho^5}/2 1/(1-\rho^2)$ e mi rimane il problema del logaritmo con argomento che tende a zero, quindi in questo caso risulta non sommabile sull'intervallo mentre la soluzione data insieme all'esercizio è opposta.
${\rho^4}/4 ln(1-\rho^2) - \int {\rho^5}/2 1/(1-\rho^2)$ e mi rimane il problema del logaritmo con argomento che tende a zero, quindi in questo caso risulta non sommabile sull'intervallo mentre la soluzione data insieme all'esercizio è opposta.
Vabbé ma prova lo stesso a risolvere $int 1/2 rho^5/(1-rho^2)$. Ti dovrebbe uscire qualcosa che ammazza l'infinito proveniente da $log(1-rho^2)$.
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