Integrale doppio facile facile
Si calcoli [tex]\displaystyle \int\int y^2 dxdy[/tex] calcolato sul dominio [tex]D=\{(x,y):4(x-3)^2+9y^2\leq 36, y\geq 0\}[/tex]
Il dominio è la porzione di ellisse che sta sopra l'asse x; ho provato a calcolarlo in due modi diversi e trovo due risultati diversi: [tex]\displaystyle 3 \pi[/tex] e [tex]\displaystyle \frac {15} {2} \pi[/tex]...
Qual è quello giusto (se è uno tra i due!)?
Il dominio è la porzione di ellisse che sta sopra l'asse x; ho provato a calcolarlo in due modi diversi e trovo due risultati diversi: [tex]\displaystyle 3 \pi[/tex] e [tex]\displaystyle \frac {15} {2} \pi[/tex]...
Qual è quello giusto (se è uno tra i due!)?
Risposte
quali sarebbero i modi? che coordinate hai usato?
Hai provato in "coordinate ellittiche"? Comunque, a me viene $3\pi$, ma non è detto che sia corretto. Prova a postare i passaggi, magari individuiamo l'errore.
I) Facendo la trasformazione in coordinate polari ellittiche, cioè in [tex]\displaystyle r[/tex] e [tex]\displaystyle \theta[/tex] che variano rispettivamente tra [tex]\displaystyle (0,1][/tex] e [tex]\displaystyle (0,\pi)[/tex] essendo [tex]\displaystyle x= 3+3rcos\theta[/tex] e [tex]\displaystyle y=2sin\theta[/tex] trovo il jacobiano che è [tex]\displaystyle 6r[/tex] e l'integrale mi viene [tex]\displaystyle 3\pi[/tex]
II) Per verificarlo, ho usato il teorema di Gauss-Green e mi sono ricondotto ad un integrale lineare; ho preso la forma differenziale (o campo vettoriale che dir si voglia) [tex]\displaystyle \omega =Adx+Bdy=0dx+xy^2 dy[/tex] in modo che [tex]\displaystyle \partial _x B - \partial _y A =y^2[/tex] e il risultato cercato dovrebbe essere pari alla metà dell'integrale circuitazionale di [tex]\displaystyle \omega[/tex] lungo l'intera ellisse, invece mi viene diverso, cioè [tex]\displaystyle \frac {15}{2} \pi[/tex]
II) Per verificarlo, ho usato il teorema di Gauss-Green e mi sono ricondotto ad un integrale lineare; ho preso la forma differenziale (o campo vettoriale che dir si voglia) [tex]\displaystyle \omega =Adx+Bdy=0dx+xy^2 dy[/tex] in modo che [tex]\displaystyle \partial _x B - \partial _y A =y^2[/tex] e il risultato cercato dovrebbe essere pari alla metà dell'integrale circuitazionale di [tex]\displaystyle \omega[/tex] lungo l'intera ellisse, invece mi viene diverso, cioè [tex]\displaystyle \frac {15}{2} \pi[/tex]
a parte che non capisco cosa combini con le derivate parziali (quando dici "in modo che" ecc..), sicuramente sbagli qualcosa, perchè parametrizzando correttamente l'ellisse la circuitazione dà proprio $3 pi$ come puoi vedere da wolframalpha (fai copia-incolla):
http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... +%2B+6+cos^2%28t%29%29%284+sin^2+t%29%29+dt+from+t%3D0+to+pi
http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... +%2B+6+cos^2%28t%29%29%284+sin^2+t%29%29+dt+from+t%3D0+to+pi
Allora se lo dice wolfram il risultato giusto è [tex]\displaystyle 3 \pi[/tex]... Comunque i passaggi che ho fatto per il secondo metodo è: ho preso una forma differenziale a caso [tex]\displaystyle \omega =Adx+Bdy[/tex] tale che [tex]\displaystyle \partial _x B - \partial _y A =\partial _x xy^2 - \partial _y 0 =y^2-0=y^2[/tex] perchè così posso applicare Gauss-Green: [tex]\displaystyle \frac {1} {2} \int _{0,2\pi} \omega (r(t))*r'(t)dt=[/tex]
[tex]\displaystyle =\frac {1} {2} \int _{0,2\pi} (3cost+3)(2sint)^2dy*\frac{d} {dt} ((3cost+3)dx+2sintdy)=[/tex]
[tex]\displaystyle =\frac {1} {2} \int _{0,2\pi} (3cost+3)(2sint)^2dy*(-3sintdx+2costdy)dt=[/tex]
[tex]\displaystyle =\frac {1} {2} \int _{0,2\pi} (3cost+3)4sin^2 {t} 2costdt= \frac {15} {2} \pi[/tex]
dove con [tex]\displaystyle *[/tex] intendo il prodotto scalare...non lo so se il procedimento è giusto, se ho fatto errori di calcolo oppure addirittura se sbaglio ad apllicare il teorema...non lo so, voiche dite?
[tex]\displaystyle =\frac {1} {2} \int _{0,2\pi} (3cost+3)(2sint)^2dy*\frac{d} {dt} ((3cost+3)dx+2sintdy)=[/tex]
[tex]\displaystyle =\frac {1} {2} \int _{0,2\pi} (3cost+3)(2sint)^2dy*(-3sintdx+2costdy)dt=[/tex]
[tex]\displaystyle =\frac {1} {2} \int _{0,2\pi} (3cost+3)4sin^2 {t} 2costdt= \frac {15} {2} \pi[/tex]
dove con [tex]\displaystyle *[/tex] intendo il prodotto scalare...non lo so se il procedimento è giusto, se ho fatto errori di calcolo oppure addirittura se sbaglio ad apllicare il teorema...non lo so, voiche dite?
che sbagli decisamente l'applicazione del teorema. o meglio, non hai capito qualcosa degli integrali di seconda specie.
chiamiamo $ r'(t) dt = dr$. questo $dr$ sarebbe il vettore $(dx, dy)$ nel tuo caso. ora, la coordinata y da cos'è data? basta che la differenzi rispetto a t e il gioco è fatto. fai una prova (nota che y è uno scalare, non un vettore!)
chiamiamo $ r'(t) dt = dr$. questo $dr$ sarebbe il vettore $(dx, dy)$ nel tuo caso. ora, la coordinata y da cos'è data? basta che la differenzi rispetto a t e il gioco è fatto. fai una prova (nota che y è uno scalare, non un vettore!)
Scusami ma non capisco...mi sembrava che la derivata rispetto a t della coordinata y io l'avessi fatta, cioè nel mio post precedente, dal secondo al terzo passaggio ho fatto proprio questo.
quello che sbagli è il secondo passaggio.
la formula di green ti dice che $int int_D \ f_x dx dy = int_(partial D^+) f dy$
questo significa che puoi vedere il termine $y^2$ come la derivata di $xy^2$, e fin qua tutto bene. a questo punto si tratta di prendere la formula e applicarla:
$int int_D \ y^2 dx dy = int_(partial D^+) xy^2 dy$
dove $partial D^+$ è la frontiera, percorsa in senso antiorario, del dominio di integrazione originario. ora basta fare le sostituzioni.. non vedo la difficoltà
la formula di green ti dice che $int int_D \ f_x dx dy = int_(partial D^+) f dy$
questo significa che puoi vedere il termine $y^2$ come la derivata di $xy^2$, e fin qua tutto bene. a questo punto si tratta di prendere la formula e applicarla:
$int int_D \ y^2 dx dy = int_(partial D^+) xy^2 dy$
dove $partial D^+$ è la frontiera, percorsa in senso antiorario, del dominio di integrazione originario. ora basta fare le sostituzioni.. non vedo la difficoltà
Se mi conforti sul fatto che Green sia applicabile e che vada bene la forma differenziale che ho scelto allora l'unica difficoltà rimasta è che non torna! Cioè, almeno per i conti che ho fatto io, l'integrale lineare che si ottiene (sulla frontiera di D percorsa in senso antiorario, come dici giustamete) non mi viene, come sperato, [tex]\displaystyle 3 \pi[/tex]...Proverò a rifare i conti 
ma è sbagliata l'espressione all'interno dell'integrale, non puoi pretendere che non ti venga perchè hai sbagliato i conti: non ti verrà mai in quel modo.
credo che il tuo problema sia legato alle forme differenziali, prova a ridarti una ripassata a quelle cose.
vorrei capire se hai capito cos'ho fatto io comunque..
credo che il tuo problema sia legato alle forme differenziali, prova a ridarti una ripassata a quelle cose.
vorrei capire se hai capito cos'ho fatto io comunque..
@enr87: Ti ringrazio per i tuoi tentativi di farmi capire il problema ma a questo punto mi arrendo... Non capisco dove sbaglio. Ti prego gentilmente di postare i passaggi giusti, almeno l'inizio dell'integrale lineare, così forse riesco a capire
P.S.: Grazie 1000 per le risposte che mi hai dato finora e perdonami se ti sei imbattutto in uno studente davvero cocciuto
P.S.: Grazie 1000 per le risposte che mi hai dato finora e perdonami se ti sei imbattutto in uno studente davvero cocciuto
ma non hai mica niente da farti perdonare, anch'io se non capisco una cosa la chiedo fino allo sfinimento.
l'integrale non voglio risolvertelo, quello che ti chiedo è semplicemente se sai cosa significa l'espressione dx (oppure dy), data una curva $gamma(t) = (x(t), y(t))$, altrimenti è inutile continuare, nel senso che ti devi ristudiare queste cose.
l'integrale non voglio risolvertelo, quello che ti chiedo è semplicemente se sai cosa significa l'espressione dx (oppure dy), data una curva $gamma(t) = (x(t), y(t))$, altrimenti è inutile continuare, nel senso che ti devi ristudiare queste cose.
Si, credo di saperlo. Se scrivo la curva parametrica [tex]\displaystyle \gamma (t)=x(t) \overrightarrow {i}+y(t) \overrightarrow {j}[/tex] che è evidentemente una applicazione [tex]\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R}^2[/tex] in questo caso perchè l'ellisse è una curva piana, allora posso riscriverla - almeno credo - senza alcuna differenza, in forma differenziale (scusa il gioco di parole) come [tex]\displaystyle \gamma (t)=x(t)dx+y(t)dy[/tex] dove [tex]\displaystyle dx[/tex] e [tex]\displaystyle dy[/tex] mi indicano rispettivamente l'incremento della componente x e della componente y nelle rispettive direzioni. Lo stesso ragionamento vale per la derivata della curva parametrica [tex]\displaystyle \gamma '(t)=x'(t) \overrightarrow {i}+y'(t) \overrightarrow {j}[/tex] o equivalentemente [tex]\displaystyle \gamma '(t)=x'(t)dx+y'(t)dy[/tex]. Ora se moltiplico questo vettore appartenente a [tex]\displaystyle \mathbb {R}^2[/tex] e lo moltiplico per il vettore corrispondente alla forma differenziale [tex]\displaystyle \omega (\gamma (t))[/tex] la quale per convenienza è stata scelta priva della componente x, allora l'integrale circuitazionale non è altro che il prodotto tra due scalari, cioè tra la componente y della derivata della curva [tex]\displaystyle y'(t)= \frac {d} {dt} y(t)=\frac {d} {dt} 2sint=2cost[/tex] e la componente y della forma differenziale, cioè [tex]\displaystyle B(x,y)=xy^2=(3cost+3)(2sint)^2[/tex]
Credo che la nostra incomprensione sia dovuta essenzialmente al fatto che io stia usando un teorema leggermente più generico di quello che hai menzionato tu. Per me, come ho già scritto, Gauss-Green dice che (con significato dei simboli ovvio e già spiegato):
[tex]\displaystyle \int \int _{D} (\partial _x B(x,y)-\partial_y A(x,y))dx dy=\int_{\partial D^{+}}\omega(x,y)*(dx,dy)=[/tex]
[tex]=\int_{\partial D^{+}}\omega (\gamma (t))*\gamma '(t) dt[/tex]
dove ti rammento che il simbolo [tex]\displaystyle *[/tex] è un prodotto scalare (e posso farlo perchè i due oggetti sono dei vettori)
mentre mi pare che per te sia:
[tex]\displaystyle \int \int _{D} \partial _x f(x,y)dx dy=\int_{\partial D^{+}}f(x,y)dy[/tex]
Ma questa formula vale solo per le funzioni [tex]\displaystyle z=f(x,y)[/tex] che vanno da [tex]\displaystyle \mathbb {R}^2 \to \mathbb {R}[/tex], ma sono solo un caso particolare delle forme differenziali tipo [tex]\displaystyle f(x,y)=A(x,y)dx+B(x,y)dy[/tex] che invece vanno da [tex]\displaystyle \mathbb {R}^2 \to \mathbb {R}^2[/tex]
Ti prego di postarmi per bene, spiegando tutti i termini, la formula di Gauss-Green che usi, perchè credo l'incomprensione stia lì...
Credo che la nostra incomprensione sia dovuta essenzialmente al fatto che io stia usando un teorema leggermente più generico di quello che hai menzionato tu. Per me, come ho già scritto, Gauss-Green dice che (con significato dei simboli ovvio e già spiegato):
[tex]\displaystyle \int \int _{D} (\partial _x B(x,y)-\partial_y A(x,y))dx dy=\int_{\partial D^{+}}\omega(x,y)*(dx,dy)=[/tex]
[tex]=\int_{\partial D^{+}}\omega (\gamma (t))*\gamma '(t) dt[/tex]
dove ti rammento che il simbolo [tex]\displaystyle *[/tex] è un prodotto scalare (e posso farlo perchè i due oggetti sono dei vettori)
mentre mi pare che per te sia:
[tex]\displaystyle \int \int _{D} \partial _x f(x,y)dx dy=\int_{\partial D^{+}}f(x,y)dy[/tex]
Ma questa formula vale solo per le funzioni [tex]\displaystyle z=f(x,y)[/tex] che vanno da [tex]\displaystyle \mathbb {R}^2 \to \mathbb {R}[/tex], ma sono solo un caso particolare delle forme differenziali tipo [tex]\displaystyle f(x,y)=A(x,y)dx+B(x,y)dy[/tex] che invece vanno da [tex]\displaystyle \mathbb {R}^2 \to \mathbb {R}^2[/tex]
Ti prego di postarmi per bene, spiegando tutti i termini, la formula di Gauss-Green che usi, perchè credo l'incomprensione stia lì...
guarda che dovrebbe essere la stessa cosa, ti spiego. prima di tutto, quello che per me è il teorema di stokes (o del rotore) in $RR^2$ è il teorema di gauss-green per te. in realtà si dimostra facilmente che la "mia" formula di green discende da quel teorema, ti consiglio di seguire il mio procedimento che è decisamente più semplice (anche se il tuo è identico, ma poi ti perdi con la funzione da integrare e non capisco il perchè!).
intanto dimostriamo che ne è una conseguenza. dal teorema del rotore (in realtà un suo caso particolare) sappiamo che:
$int int_D dxdy = int_(partial D^+) F_1 dx + F_2 dy
dove F è un campo vettoriale
tenendo conto che la normale n è (0,0,1), perchè siamo nel piano xy, $ = F_(2x) - F_(1y)$, da cui sostituendo nell'integrale a sinistra ricavi:
$int int_D F_(2x) - F_(1y) \ dxdy = int_(partial D^+) F_1 dx + F_2 dy$
ora, quello che hai fatto tu (e se noti l'ho fatto pure io) è semplicemente aver posto $A (=F_(1)) = 0$. ma se $F_1 = 0$, cosa ti resta nel membro a sinistra?
intanto dimostriamo che ne è una conseguenza. dal teorema del rotore (in realtà un suo caso particolare) sappiamo che:
$int int_D
dove F è un campo vettoriale
tenendo conto che la normale n è (0,0,1), perchè siamo nel piano xy, $
$int int_D F_(2x) - F_(1y) \ dxdy = int_(partial D^+) F_1 dx + F_2 dy$
ora, quello che hai fatto tu (e se noti l'ho fatto pure io) è semplicemente aver posto $A (=F_(1)) = 0$. ma se $F_1 = 0$, cosa ti resta nel membro a sinistra?
Ovviamente rimane solo la derivata parziale rispetto a x di [tex]F_{2}[/tex], che non è altro che [tex]y^2[/tex] a sinistra, ovvero l'integrale doppio facile facile che vogliamo calcolare. Mentre a destra rimane [tex]F_{2} dy[/tex] ma questo è proprio quello che ho scritto io (guarda il risultato finale del mio procedimento che ti riporto):
Infatti al posto di x ho messo la componente x della curva, idem per y e al posto di dy ho messo proprio la derivata rispetto al tempo della componente y della derivata della curva moltiplicata per dt. Dal momento che non mi hai fatto obiezioni sul mio discorso relativo agli incrementi differenziali del post precedente, deduco che era giusto e che quindi anche questa scrittura per l'integrale: [tex]\displaystyle =\frac {1} {2} \int _{0,2\pi} (3cost+3)4sin^2 {t} 2costdt[/tex] sia giusta. Da qui posso finalmente procedere tranquillo al calcolo dell'integrale lineare?!!
"EdmondDantès":
[tex]\displaystyle \frac {1} {2} \int _{0,2\pi} \omega (r(t))*r'(t)dt=[/tex]
[tex]\displaystyle =\frac {1} {2} \int _{0,2\pi} (3cost+3)(2sint)^2dy*\frac{d} {dt} ((3cost+3)dx+2sintdy)=[/tex]
[tex]\displaystyle =\frac {1} {2} \int _{0,2\pi} (3cost+3)(2sint)^2dy*(-3sintdx+2costdy)dt=[/tex]
[tex]\displaystyle =\frac {1} {2} \int _{0,2\pi} (3cost+3)4sin^2 {t} 2costdt[/tex]
Infatti al posto di x ho messo la componente x della curva, idem per y e al posto di dy ho messo proprio la derivata rispetto al tempo della componente y della derivata della curva moltiplicata per dt. Dal momento che non mi hai fatto obiezioni sul mio discorso relativo agli incrementi differenziali del post precedente, deduco che era giusto e che quindi anche questa scrittura per l'integrale: [tex]\displaystyle =\frac {1} {2} \int _{0,2\pi} (3cost+3)4sin^2 {t} 2costdt[/tex] sia giusta. Da qui posso finalmente procedere tranquillo al calcolo dell'integrale lineare?!!
ops, ho visto solo ora che giungiamo alla stessa funzione integranda.. tu con qualche passaggio in più, ma è corretto lo stesso, (mi ero incasinato io, scusa). allora l'unica cosa che sbagli è l'integrazione, per quello ti rimando a wolfram, che ti illustra tutti i passaggi.
ps: a dire la verità non ho ancora capito come fai le sostituzioni, ora provo a guardare meglio..
edit: secondo me ti incasini, la cosa mi pare molto più semplice:
$int int_D \ y^2 dx dy = int_(partial D^+) xy^2 dy$
dy = y'(t)dt, quindi:
$int_(partial D^+) xy^2 dy = int_(partial D^+) x(t)y(t)^2 y'(t) dt$
io non ci vedo il prodotto scalare che dici, non è che fai confusione? se vuoi metterlo proprio in gioco, dovresti introdurre la componente x del campo (che è nulla) e fare:
$int_(partial D^+) <(0, xy^2), (dx, dy)>$
ps: a dire la verità non ho ancora capito come fai le sostituzioni, ora provo a guardare meglio..
edit: secondo me ti incasini, la cosa mi pare molto più semplice:
$int int_D \ y^2 dx dy = int_(partial D^+) xy^2 dy$
dy = y'(t)dt, quindi:
$int_(partial D^+) xy^2 dy = int_(partial D^+) x(t)y(t)^2 y'(t) dt$
io non ci vedo il prodotto scalare che dici, non è che fai confusione? se vuoi metterlo proprio in gioco, dovresti introdurre la componente x del campo (che è nulla) e fare:
$int_(partial D^+) <(0, xy^2), (dx, dy)>$
"enr87":
io non ci vedo il prodotto scalare che dici, non è che fai confusione? se vuoi metterlo proprio in gioco, dovresti introdurre la componente x del campo (che è nulla) e fare:
$int_(partial D^+) <(0, xy^2), (dx, dy)>$
questo è esattamente quello che ho fatto io...il prodotto scalare che faccio è proprio quello che hai appena scritto tu
Vabbè, dai, è stata dura ma finalmente siamo arrivati alla stessa conclusione
P.S.: Concordo che come lo fai te è più veloce ed è meno rischioso (ovvero meno probabilità di errore) perchè ci sono meno passaggi...solo che il teorema di Stokes non lo conoscevo e non sapevo quella formula lì
vabbuò, ti resta da correggere l'integrale ma il resto è ok allora. dai l'impressione di avere un po' di confusione in testa, io ti consiglio lo stesso di riguardarti le cose indietro
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